3. Движение тела, брошенного горизонтально

Определения и обозначения

Горизонтальное бросание — движение тела, которому в начальный момент сообщают скорость, направленную горизонтально. После броска на тело действует сила тяжести, поэтому оно не сохраняет прямолинейное движение. Это понятие используют, когда начальная вертикальная скорость равна нулю.

Начальная скорость v₀ — скорость тела сразу после броска; при горизонтальном бросании она направлена вдоль горизонтальной оси. Она задаёт, насколько быстро тело удаляется от точки броска. В расчётах v₀ определяет горизонтальное перемещение за каждую секунду.

Траектория — линия, которую тело описывает в пространстве. При горизонтальном бросании в однородном поле тяжести она имеет форму параболы, потому что тело равномерно перемещается вперёд и всё быстрее опускается вниз. По траектории можно понять, где окажется тело в каждый момент.

Дальность полёта L — горизонтальное расстояние от точки броска до точки падения. Она зависит от горизонтальной скорости и времени, в течение которого тело находится в полёте. Поэтому сначала обычно находят время падения, а затем дальность.

Как это устроено

Движение можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие, потому что вектор скорости имеет направление и может быть представлен двумя взаимно перпендикулярными компонентами. При горизонтальном бросании начальная вертикальная составляющая равна нулю, а горизонтальная равна v₀. Действие силы тяжести направлено только по вертикали, поэтому она не связывает уравнения движения по двум осям.

По горизонтали тело движется равномерно: ускорение равно нулю, так как в этом направлении на него не действует сила. За одинаковые промежутки времени оно проходит одинаковые расстояния. По вертикали действует сила тяжести, поэтому скорость изменяется на величину gt за время t, а движение является равноускоренным.

Выберем ось x горизонтально, а ось y вертикально вверх; точку отсчёта по горизонтали совместим с местом броска, а начальную высоту обозначим h. В момент t = 0 координаты равны x = 0 и y = h. Поэтому законы движения имеют вид x = v₀t и y = h − gt²/2: знак минус показывает, что тело опускается вниз.

Чтобы получить форму траектории, выразим время из первого уравнения: t = x/v₀. Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем y = h − gx²/(2v₀²). Координата y зависит от квадрата x, значит, график движения является параболой, ветви которой направлены вниз.

Время падения находят из условия y = 0: tпад = √(2h/g). Затем дальность равна L = v₀tпад, а скорость в любой момент задаётся составляющими vₓ = v₀ и vᵧ = gt. Модуль скорости находят по теореме Пифагора: v = √(v₀² + (gt)²); перед ударом в это выражение подставляют время падения.

Составляющие движения тела, брошенного горизонтально

Таблица помогает не смешивать величины, относящиеся к разным направлениям. Сначала выбирайте строку, соответствующую известной характеристике, а затем используйте нужный столбец. Знак минус по вертикали связан с выбранным направлением оси y вверх.

Разбор задач

Задача 1

Тело бросили горизонтально с высоты 20 м со скоростью 5 м/с. Найдём время падения и дальность полёта, принимая g = 10 м/с². Вертикальная скорость броска равна нулю, поэтому для времени используем закон свободного падения.

1. Из условия y = 0 получаем h − gt²/2 = 0. Тогда t = √(2h/g) = √(40/10) = 2 с.
2. По горизонтали движение равномерное, поэтому L = v₀t = 5 · 2 = 10 м.

Ответ: время падения — 2 с, дальность полёта — 10 м.

Задача 2

Камень упал на расстоянии 30 м от основания скалы через 2 с после горизонтального броска. Требуется найти высоту скалы и начальную скорость. Одно неизвестное определим из вертикального движения, другое — из горизонтального.

1. Высота равна пройденному вертикальному пути: h = gt²/2 = 10 · 2²/2 = 20 м.
2. По горизонтали L = v₀t, значит v₀ = L/t = 30/2 = 15 м/с.

Ответ: высота скалы — 20 м, начальная скорость — 15 м/с.

Задача 3

Тело бросили с высоты 45 м со скоростью 20 м/с. Найдём скорость и угол её направления перед падением, используя g = 10 м/с². Сначала определим, сколько времени тело падает, затем вычислим обе составляющие конечной скорости.

1. Время падения: t = √(2h/g) = √(90/10) = 3 с.
2. Горизонтальная составляющая не меняется: vₓ = 20 м/с. Вертикальная составляющая перед ударом равна vᵧ = gt = 30 м/с и направлена вниз.
3. Модуль скорости: v = √(20² + 30²) = √1300 ≈ 36,1 м/с. Угол α к горизонту задаёт tg α = 30/20 = 1,5, поэтому α ≈ 56° вниз.

Ответ: скорость перед падением примерно 36,1 м/с, направление — под углом около 56° к горизонту вниз.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Иногда считают, что горизонтальная скорость уменьшается из-за силы тяжести. Так происходит потому, что тело ускоряется вниз, но сила тяжести не имеет горизонтальной составляющей. Проверка проста: при отсутствии сопротивления воздуха записываем vₓ = v₀.

Ошибка 2. Формулу свободного падения применяют сразу ко всей скорости тела. Её можно использовать только для вертикальной составляющей, поскольку горизонтальная часть движется равномерно. Проверяйте, к какой оси относится каждая формула.

Ошибка 3. Высоту h путают с вертикальным перемещением и неверно выбирают знак координаты y. При оси y, направленной вверх, начальная координата равна h, а закон имеет вид y = h − gt²/2. В конце падения нужно подставлять y = 0, а не y = h.

Ошибка 4. Траекторию изображают прямой линией, потому что тело начинает двигаться горизонтально. Начальное направление скорости не отменяет вертикального ускорения: тело всё сильнее опускается по мере движения вперёд. Если построить несколько точек по формулам x и y, получится парабола.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны знания о равноускоренном движении, свободном падении, векторном сложении скоростей и выборе системы координат. Эти темы объясняют, откуда берутся формулы для координат и скорости.

Движение тела, брошенного горизонтально, является частным случаем движения тела, брошенного под углом к горизонту. Его начальная скорость направлена под углом 0° к горизонтали, поэтому вертикальная начальная составляющая равна нулю.

Дальше такие модели применяются при расчёте траекторий снарядов, спортивных бросков и движения искусственных спутников вблизи поверхности Земли. В более сложных задачах учитывают сопротивление воздуха и изменение силы тяжести.

Что запомнить

• Движение горизонтально брошенного тела состоит из независимых горизонтального и вертикального движений.
• По горизонтали тело движется равномерно: x = v₀t.
• По вертикали тело движется с ускорением свободного падения: y = h − gt²/2.
• Время падения зависит от высоты и не зависит от начальной горизонтальной скорости.
• Траектория движения имеет форму параболы.
• Дальность полёта равна произведению горизонтальной скорости на время падения: L = v₀t.
• Скорость тела в каждый момент является векторной суммой горизонтальной и вертикальной составляющих.