2. Движение тела, брошенного горизонтально

Определения и обозначения

Движение тела, брошенного горизонтально, — движение тела, получившего начальную скорость, направленную горизонтально, под действием силы тяжести. После броска тело не перестаёт двигаться вперёд, но начинает опускаться. Это определение задаёт модель, с которой удобно рассчитывать полёт, не учитывая сопротивление воздуха.

Начальная скорость — скорость тела в момент броска; при горизонтальном броске она направлена вдоль горизонта и обозначается v₀. Она задаёт скорость тела по горизонтали на всём протяжении полёта. Знание v₀ позволяет находить, какое расстояние тело пролетит вперёд за время падения.

Траектория — линия, по которой движется тело; при горизонтальном броске без учёта сопротивления воздуха она имеет форму параболы. По мере движения тело удаляется от точки броска и опускается, поэтому его путь не является ни прямой, ни вертикальной линией. Траектория помогает связать положение тела по горизонтали с его высотой.

Дальность полёта — горизонтальное расстояние от точки броска до точки падения; обычно его обозначают l. Она зависит и от того, как быстро тело движется по горизонтали, и от того, сколько длится падение. Поэтому для её расчёта сначала находят время полёта.

Как это устроено

Движение удобно представить как сумму горизонтального движения и вертикального падения. Причина в том, что сила тяжести направлена вниз и не действует вдоль горизонтали, а каждую составляющую движения можно описывать отдельно. В результате тело одновременно продвигается вперёд и опускается.

По горизонтали ускорение равно нулю: при отсутствии сопротивления воздуха нет силы, которая меняла бы горизонтальную скорость. Поэтому эта составляющая остаётся равной v₀, а координата меняется по закону x = v₀t. По вертикали действует сила тяжести, из-за которой возникает ускорение g и скорость вниз постепенно увеличивается.

Чтобы получить форму траектории, выразим время из горизонтального закона: t = x/v₀. Если направить вертикальную ось вниз от точки броска, вертикальное перемещение равно y = gt²/2; подстановка времени даёт y = gx²/(2v₀²). Это квадратичная зависимость y от x, то есть уравнение параболы; при оси вверх знак перед выражением будет минус.

По вертикали тело начинает падать без начальной скорости, поэтому высота определяет время падения: h = gt²/2, откуда t = √(2h/g). Горизонтальная скорость в это уравнение не входит, поскольку она не меняет движение вниз. Следовательно, с одной и той же высоты тела падают одинаковое время, если влиянием воздуха пренебречь.

Перемещение и скорость находят по составляющим, а не одной формулой для всего движения. Для горизонтали используют x = v₀t и vₓ = v₀, для вертикали — y = gt²/2 и vᵧ = gt, если вниз выбрано положительным направлением. Дальность равна l = v₀t, а полную скорость получают сложением перпендикулярных составляющих по теореме Пифагора.

Составляющие движения тела, брошенного горизонтально

Таблица показывает, какие формулы относятся к каждому направлению, поэтому сначала определите, что именно требуется найти. Для падения используйте вертикальные данные, а для продвижения вперёд — горизонтальные. В формулах вертикальной координаты заранее выберите направление оси: при оси вверх смещение будет отрицательным.

Разбор задач

Тело бросили горизонтально с высоты 20 м. Определить время его падения, сопротивлением воздуха пренебречь. Горизонтальная скорость здесь не задана, но для нахождения времени она и не нужна. Примем g = 10 м/с² и направим вертикальную ось вниз.

1. Запишем закон вертикального движения: h = gt²/2, поскольку начальная вертикальная скорость равна нулю.
2. Выразим время: t = √(2h/g) = √(2 · 20/10) = √4 = 2 с.

Ответ: тело падало 2 с. Полученное время — время вертикального падения с высоты 20 м.

Камень бросили горизонтально со скоростью 8 м/с с обрыва высотой 45 м. Найти дальность полёта. Сначала нужно выяснить длительность полёта, а затем узнать, какое расстояние камень пройдёт за это время по горизонтали. Примем g = 10 м/с².

1. Найдём время падения по вертикальному движению: t = √(2h/g) = √(2 · 45/10) = √9 = 3 с.
2. Вычислим горизонтальный путь: l = v₀t = 8 · 3 = 24 м. Горизонтальная скорость всё время равна 8 м/с.

Ответ: дальность полёта равна 24 м. Вертикальное движение дало время, а горизонтальное — расстояние за это время.

Тело брошено горизонтально со скоростью 12 м/с с высоты 20 м. Определить скорость непосредственно перед падением и угол между скоростью и горизонтом. Сначала найдём время, потому что оно позволяет вычислить вертикальную скорость. Горизонтальная составляющая остаётся неизменной, а вертикальная направлена вниз.

1. Время падения: t = √(2h/g) = √(40/10) = 2 с.
2. Составляющие скорости перед падением: vₓ = 12 м/с, vᵧ = gt = 10 · 2 = 20 м/с.
3. Полная скорость: v = √(vₓ² + vᵧ²) = √(12² + 20²) = √544 ≈ 23,3 м/с.
4. Угол к горизонту найдём из tg α = vᵧ/vₓ = 20/12; α ≈ 59° вниз от горизонта.

Ответ: скорость перед падением примерно 23,3 м/с, угол — примерно 59° ниже горизонта. Проверка: полная скорость больше каждой из её составляющих.

Типичные ошибки

Считать, что тело падает строго вертикально, — значит забыть о горизонтальной скорости, сообщённой при броске. Так ошибаются, представляя падение отдельно от движения вперёд. Проверьте себя: если v₀ не равна нулю, за время полёта тело проходит горизонтальный путь x = v₀t.

Иногда начальную скорость считают полной скоростью на всём пути. Это происходит потому, что не учитывают ускорение вниз: вертикальная составляющая скорости растёт, а направление полной скорости меняется. Проверка проста: перед падением вычислите обе составляющие и сложите их по теореме Пифагора.

Связывать время падения с горизонтальной скоростью неверно. Такая связь кажется правдоподобной, потому что более быстрый предмет дальше улетает, но без сопротивления воздуха он не падает быстрее. Проверьте формулу времени: t = √(2h/g), в ней есть высота и g, но нет v₀.

Ещё одна ошибка — подставлять дальность в формулу вертикального движения или высоту в формулу горизонтального перемещения. Причина в том, что обе величины кажутся просто расстояниями, хотя измерены вдоль разных направлений. Перед подстановкой подпишите величины: высота относится к вертикали, дальность — к горизонтали.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны знания о равномерном движении, свободном падении, сложении векторов и формулах равноускоренного движения. Равномерное движение описывает горизонтальную часть, а свободное падение — вертикальную. Сложение векторов помогает восстановить скорость тела целиком.

Разобранная модель подготавливает к изучению движения тела, брошенного под углом к горизонту. В таком случае у начальной скорости появляется не только горизонтальная, но и вертикальная составляющая. Независимое рассмотрение движений по осям остаётся тем же.

Модель применяют, чтобы описывать полёт предметов и снарядов, а также оценивать дальность броска. Она полезна, когда нужно понять влияние высоты и начальной скорости на результат. Расчёты приближённые: сопротивление воздуха в них не учитывается.

Что запомнить

• Движение тела, брошенного горизонтально, складывается из равномерного движения по горизонтали и свободного падения по вертикали.
• По горизонтали ускорение равно нулю, поэтому скорость v₀ сохраняется.
• По вертикали тело движется с ускорением g и нулевой начальной вертикальной скоростью.
• Время падения определяется высотой: t = √(2h/g).
• Дальность полёта равна произведению горизонтальной скорости на время падения: l = v₀t.
• Траектория тела при горизонтальном броске — парабола.
• Полную скорость находят по её горизонтальной и вертикальной составляющим.

При горизонтальном направлении оси x и вертикальном направлении оси y вверх траектория имеет вид параболы: тело удаляется по горизонтали и одновременно опускается под действием силы тяжести.