"Физика", Белага В.В., Ломаченков И.А., Панебратцев Ю.А.
Тело, брошенное под углом к горизонту, одновременно движется вперёд и поднимается или опускается под действием силы тяжести. Если не учитывать сопротивление воздуха, горизонтальная скорость остаётся постоянной, а вертикальная меняется, поэтому траектория получается параболической. Разделив движение на две составляющие, можно найти положение тела в любой момент, время в полёте, максимальную высоту и дальность — горизонтальное расстояние до места приземления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, начинается с сообщения телу скорости, направленной под углом α к горизонтали. После броска, если сопротивлением воздуха пренебречь, на тело действует сила тяжести. Такое описание помогает понять полёт мяча или снаряда и предсказать, где тело окажется в выбранный момент.
Начальная скорость — скорость тела сразу после броска; её модуль обозначают v₀. Её удобно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие: v₀x = v₀ cos α и v₀y = v₀ sin α. Первая отвечает за движение вперёд, вторая — за начальный подъём; именно эти составляющие используют в уравнениях движения.
Траектория движения — линия, по которой перемещается тело. При отсутствии сопротивления воздуха она имеет форму параболы: горизонтальная координата меняется равномерно, а вертикальная — с ускорением свободного падения. Форма траектории позволяет связать высоту тела с расстоянием по горизонтали.
Дальность полёта — горизонтальное расстояние от точки броска до точки приземления. Её определяют, зная горизонтальную скорость и время движения. Дальность помогает сравнивать броски с разными скоростями и углами, но её формула зависит от высоты приземления.
Полёт удобно разделить на два движения, потому что сила тяжести направлена вертикально. Она меняет вертикальную скорость, но не разгоняет и не тормозит тело по горизонтали, если сопротивления воздуха нет. Поэтому горизонтальное движение равномерное, а вертикальное — равноускоренное, как при свободном падении.
Выберем начало координат в точке броска, ось x направим горизонтально, а ось y — вверх. Тогда за время t горизонтальная координата равна x = v₀ cos α · t, а вертикальная — y = v₀ sin α · t − gt²/2. В обоих уравнениях стоит одно и то же время, потому что оба движения происходят одновременно; это позволяет связать пройденное расстояние и высоту.
В начале вертикальная скорость равна v₀ sin α и направлена вверх. Из-за ускорения g, направленного вниз, она постепенно уменьшается: в верхней точке подъёма вертикальная составляющая становится нулевой. Затем она направлена вниз и по модулю увеличивается, поэтому тело падает, хотя продолжает двигаться по горизонтали.
Чтобы найти время полёта, используют условие приземления на высоте броска: y = 0. Подстановка в вертикальное уравнение даёт 0 = v₀ sin α · t − gt²/2; ненулевое решение — t = 2v₀ sin α / g. Это полное время в воздухе, а дальность получают подстановкой найденного времени в x = v₀ cos α · t: L = v₀² sin 2α / g. Эти формулы требуют, чтобы начальная и конечная высоты совпадали.
Из горизонтального уравнения можно выразить время: t = x / (v₀ cos α), а затем подставить его в уравнение для y. Получается y = x tg α − gx² / (2v₀² cos² α), то есть параболическая зависимость. Максимальная высота достигается, когда вертикальная скорость равна нулю: к этому моменту тело перестаёт подниматься, но не прекращает горизонтального движения.
| Величина или этап | Зависимость | Что показывает |
|---|---|---|
| Горизонтальная составляющая начальной скорости | v₀x = v₀ cos α | Скорость по горизонтали, постоянная при отсутствии сопротивления воздуха |
| Вертикальная составляющая начальной скорости | v₀y = v₀ sin α | Начальная скорость подъёма |
| Горизонтальная координата | x = v₀ cos α · t | Перемещение по горизонтали за время t |
| Вертикальная координата | y = v₀ sin α · t − gt²/2 | Высота тела относительно точки броска |
| Время полёта при приземлении на высоте броска | t = 2v₀ sin α / g | Полное время движения до приземления |
| Дальность полёта при приземлении на высоте броска | L = v₀² sin 2α / g | Горизонтальное расстояние до точки приземления |
Сначала определите, какую величину нужно найти, и проверьте, совпадают ли высоты броска и приземления. Затем подставляйте в нужную строку известные значения, соблюдая единицы измерения: скорость — в м/с, время — в секундах, расстояние — в метрах. Если высоты разные, формулы времени и дальности из последних двух строк напрямую не подходят.
Тело брошено горизонтально со скоростью 10 м/с с высоты 20 м. Найдите время падения и дальность полёта; сопротивлением воздуха пренебречь, g = 10 м/с². По вертикали тело начинает движение без начальной скорости, а по горизонтали движется равномерно. Сначала найдём время падения, затем используем его для расчёта дальности.
Ответ: время падения — 2 с, дальность полёта — 20 м. Проверка показывает, что за две секунды тело успевает пройти по горизонтали двадцать метров. В этой задаче начальная вертикальная скорость равна нулю, поскольку бросок горизонтальный.
Тело брошено со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту и приземляется на уровне броска. Найдите время полёта и дальность; g = 10 м/с². Поскольку высоты начала и конца совпадают, можно использовать формулы для полного времени и дальности. Угол нужен, чтобы определить вертикальную и горизонтальную составляющие начальной скорости.
Ответ: 2 с и 20√3 м, или примерно 34,6 м. Разложение скорости показывает, почему для времени важна вертикальная составляющая, а для дальности — горизонтальная. Время подъёма здесь равно 1 с, то есть половине всего времени движения.
Тело брошено со скоростью 25 м/с под углом 37° к горизонту. Определите максимальную высоту и дальность полёта; sin 37° = 0,6, cos 37° = 0,8, g = 10 м/с². Тело приземляется на высоте броска, поэтому для дальности можно применить формулу для равных высот. Максимальную высоту найдём из условия, что в верхней точке вертикальная скорость равна нулю.
Ответ: максимальная высота — 11,25 м, дальность — 60 м. Проверка высоты через формулу H = v₀y²/(2g) даёт тот же результат: 225/20 = 11,25 м. Для дальности использовано условие, что точка приземления находится на уровне броска.
Ошибка: считать, что сила тяжести изменяет горизонтальную скорость. Так рассуждают, потому что тело движется по двум направлениям одновременно, но ускорение свободного падения направлено только вертикально. Проверьте себя по направлению ускорения: при отсутствии сопротивления воздуха горизонтальная составляющая скорости постоянна.
Ошибка: подставлять всю начальную скорость в уравнение вертикального движения вместо v₀ sin α. Такое происходит, если забыть, что уравнения для каждой оси используют только соответствующую составляющую скорости. Перед расчётом нарисуйте разложение вектора: вертикальная сторона треугольника равна v₀ sin α, горизонтальная — v₀ cos α.
Ошибка: принимать время подъёма за полное время полёта. Путаница возникает потому, что в верхней точке вертикальная скорость равна нулю, но после неё тело продолжает падать. Если приземление происходит на высоте броска, движение вниз занимает столько же времени, сколько подъём, поэтому полное время вдвое больше времени подъёма.
Ошибка: применять L = v₀² sin 2α / g при приземлении на другой высоте. Формулу получают из условия, что вертикальное перемещение за весь полёт равно нулю, поэтому при разных высотах она не описывает задачу. Проверьте высоту старта и финиша; если они различаются, найдите время из вертикального уравнения и только затем рассчитайте горизонтальное перемещение.
Для решения задач нужно уметь раскладывать вектор на составляющие и пользоваться формулой равномерного движения: это позволяет отдельно описать перемещение по горизонтали. Вертикальная часть опирается на равноускоренное движение и свободное падение, где ускорение постоянно и направлено вниз. Тот же способ разделения движения пригодится при изучении тел в поле тяжести и при решении задач о полёте снарядов.
Почему горизонтальная скорость тела не меняется?
Если сопротивлением воздуха пренебречь, на тело действует только сила тяжести, направленная вертикально вниз. Поэтому горизонтального ускорения нет и горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной.
Как найти время полёта тела, брошенного под углом?
Если тело приземляется на той же высоте, с которой его бросили, время полёта равно t = 2v₀ sin α / g. Формула следует из вертикального уравнения движения при условии, что конечная высота равна начальной.
Почему траектория тела имеет форму параболы?
По горизонтали координата растёт пропорционально времени, а по вертикали меняется по закону с членом t² из-за постоянного ускорения свободного падения. Если выразить время через горизонтальную координату и подставить в вертикальное уравнение, получится зависимость y от x с квадратом x — уравнение параболы.
В верхней точке вертикальная скорость равна нулю — означает ли это, что тело остановилось?
Нет: в верхней точке на мгновение равна нулю только вертикальная составляющая скорости. Горизонтальная составляющая продолжает действовать, поэтому тело всё ещё движется вперёд.
При каком условии можно использовать формулу дальности полёта через sin 2α?
Формула L = v₀² sin 2α / g применима, когда тело приземляется на той же высоте, с которой его бросили, и сопротивлением воздуха пренебрегают. Если высоты начала и конца движения различаются, нужно отдельно найти время полёта из вертикального уравнения.
3. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
