"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Тело, брошенное под углом к горизонту, одновременно движется вперёд и поднимается или опускается под действием силы тяжести. Чтобы описать его путь, движение раскладывают на горизонтальное и вертикальное: по горизонтали скорость постоянна, а по вертикали меняется. Такой подход помогает находить положение тела в любой момент, форму траектории, время полёта, дальность и высоту подъёма. Он пригодится для анализа бросков и движения снарядов, если сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, — движение под действием силы тяжести после сообщения телу начальной скорости, направленной под углом к горизонтали. В идеальной модели сопротивлением воздуха пренебрегают, поэтому ускорение тела направлено вертикально вниз. Это описание позволяет рассматривать полёт как сочетание движений по двум координатам.
Начальная скорость — скорость тела в момент броска; её проекции на горизонталь и вертикаль определяют дальнейшее движение. Обозначим её v₀, а угол между направлением скорости и горизонталью — α. Тогда горизонтальная составляющая равна v₀ cos α, а вертикальная — v₀ sin α; с ними удобно записывать уравнения движения.
Дальность полёта — горизонтальное расстояние от точки броска до точки приземления при одинаковой высоте начала и конца движения. Обычно её обозначают L и находят по горизонтальной координате тела в момент приземления. Для разных высот точки броска и приземления время полёта нужно определять отдельно.
Максимальная высота подъёма — наибольшее расстояние тела над уровнем точки броска. Её обозначают H: она достигается тогда, когда вертикальная составляющая скорости становится равной нулю. Это определение помогает найти высоту подъёма, не смешивая её с высотой точки броска над землёй.
Сначала начальную скорость раскладывают на горизонтальную и вертикальную составляющие: v₀ₓ = v₀ cos α и v₀ᵧ = v₀ sin α. Это нужно потому, что движение по горизонтали и по вертикали меняется по разным законам. Проекции задают, насколько быстро тело начинает перемещаться вдоль каждой оси.
По горизонтали тело движется равномерно: если не учитывать сопротивление воздуха, сила тяжести не имеет горизонтальной составляющей. Значит, горизонтальное ускорение равно нулю, а скорость сохраняет значение vₓ = v₀ cos α. Поэтому горизонтальная координата при выборе начала отсчёта в точке броска равна x = v₀ cos α · t.
По вертикали тело движется равноускоренно, потому что на него действует сила тяжести с постоянным ускорением g вниз. Если ось Oy направить вверх, ускорение равно −g, поэтому vᵧ = v₀ sin α − gt, а y = y₀ + v₀ sin α · t − gt²/2. При подъёме вертикальная скорость уменьшается; после того как она станет нулевой, тело начинает падать и скорость направляется вниз.
Два движения рассматривают независимо, но время t у них одно и то же: тело за каждую секунду одновременно проходит путь по горизонтали и меняет высоту. Поэтому координаты x и y можно вычислить для любого выбранного момента, используя соответствующее уравнение. При известном времени это сразу показывает положение тела, даже если оно уже движется вниз.
Чтобы получить траекторию, из уравнения x = v₀ cos α · t выражают время и подставляют его в уравнение y. При y₀ = 0 выходит y = x tg α − gx²/(2v₀² cos² α) — квадратичная зависимость, то есть парабола. Время полёта при одинаковых высотах находят из условия y = 0, кроме начального положения; затем L = v₀ cos α · T, а максимальную высоту — из условия vᵧ = 0. Так получают T = 2v₀ sin α/g, L = v₀² sin 2α/g и H = v₀² sin² α/(2g).
График показывает, как при одной и той же начальной скорости меняются форма и дальность траектории с углом броска. Для сравнения полезно смотреть не только на высоту дуги, но и на то, в какой точке она пересекает уровень приземления. Угол сам по себе не задаёт максимальную дальность, если начальная и конечная высоты различаются.
| Величина или свойство | Движение по горизонтали | Движение по вертикали |
|---|---|---|
| Начальная скорость и её составляющая | v₀ₓ = v₀ cos α | v₀ᵧ = v₀ sin α |
| Ускорение | aₓ = 0 | aᵧ = −g, если ось Oy направлена вверх |
| Закон изменения координаты | x = x₀ + v₀ cos α · t | y = y₀ + v₀ sin α · t − gt²/2 |
| Закон изменения скорости | vₓ = v₀ cos α | vᵧ = v₀ sin α − gt |
| Характер движения | Равномерное | Равноускоренное |
| Условие в высшей точке траектории | Горизонтальная скорость не равна нулю | vᵧ = 0 |
| Время полёта и дальность при одинаковой высоте начала и конца | T = 2v₀ sin α/g; L = v₀² sin 2α/g | Из условия y(T) = y₀ |
Таблица помогает не смешивать две составляющие движения: для горизонтали выбирайте столбец без ускорения, для вертикали — столбец с ускорением свободного падения. Сначала проверьте, как направлены оси и откуда отсчитывается координата y. Формулы времени полёта и дальности из последней строки подходят только для одинаковой высоты броска и приземления.
Мяч бросили со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту. Найдём составляющие начальной скорости, а затем координаты через 1 с, приняв g = 10 м/с². Начало координат поместим в точку броска, ось Oy направим вверх. Используем независимые уравнения для горизонтального и вертикального движения.
Ответ: v₀ₓ ≈ 17,3 м/с, v₀ᵧ = 10 м/с; через 1 с координаты мяча — x ≈ 17,3 м, y = 5 м.
Тело бросили с поверхности Земли со скоростью 20 м/с под углом 45° к горизонту; g = 10 м/с². Требуется найти время полёта, дальность и максимальную высоту. Поскольку тело приземляется на исходном уровне, вертикальная координата в момент приземления снова равна нулю. Используем это условие, а для высоты — момент, когда вертикальная скорость обнуляется.
Ответ: время полёта ≈ 2,83 с, дальность 40 м, максимальная высота 20 м.
Тело бросили с высоты 20 м над землёй со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту. Нужно определить время падения, дальность и скорость при приземлении; g = 10 м/с². Здесь начальная вертикальная координата не равна нулю, поэтому формула времени полёта для одинаковых высот не подходит. Сначала найдём момент, когда тело достигнет земли.
Ответ: время падения ≈ 3,24 с, дальность ≈ 56,2 м, скорость при приземлении ≈ 28,3 м/с.
Считать скорость тела постоянной по величине и направлению — значит забыть, что сила тяжести меняет её вертикальную составляющую. Ошибку допускают, перенося свойства равномерного движения на весь полёт. Проверка: вычислите vᵧ = v₀ sin α − gt для двух разных моментов — значение изменится, тогда как vₓ останется прежним.
В формуле вертикальной координаты иногда пропускают минус перед gt²/2 или выбирают направление оси Oy, но не согласуют с ним знаки. Если ось направлена вверх, ускорение тяжести отрицательно, поэтому y = y₀ + v₀ sin α · t − gt²/2. Проверить себя можно по смыслу: после достижения вершины высота должна уменьшаться.
Использовать всю начальную скорость вместо её проекции — значит подставить v₀ и в горизонтальное, и в вертикальное уравнение. Это происходит, когда скорость воспринимают как одно число, забывая о направлении. Проверьте результат через разложение: v₀ₓ = v₀ cos α, v₀ᵧ = v₀ sin α, а сумма квадратов проекций должна равняться v₀².
Формула дальности L = v₀² sin 2α/g требует одинаковых высот броска и приземления. Её ошибочно применяют и к броску с возвышения, потому что используют знакомый готовый результат без проверки условий. Перед подстановкой сравните начальную и конечную высоты; если они различаются, найдите время из уравнения y(T) = yприземления, а затем вычислите L = v₀ cos α · T.
Для разбора полёта нужны разложение вектора на составляющие, равномерное движение и равноускоренное движение. По вертикали используется ускорение свободного падения, поэтому тема напрямую опирается на движение тела под действием силы тяжести. Связав координаты со временем по каждой оси, можно описать весь полёт без отдельного закона для сложной траектории. Такой подход применяют при изучении снарядов, спортивных бросков и других задач движения в поле тяжести.
Почему горизонтальная скорость тела не изменяется?
Если сопротивлением воздуха пренебречь, на тело действует только сила тяжести, направленная вертикально вниз. Поэтому горизонтального ускорения нет, а горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной.
Почему траектория тела, брошенного под углом, имеет форму параболы?
По горизонтали координата растёт пропорционально времени, а по вертикали изменяется пропорционально квадрату времени. Если выразить время через горизонтальную координату и подставить в вертикальную, получится квадратичная зависимость y от x — уравнение параболы.
Как определить момент достижения максимальной высоты?
В высшей точке вертикальная составляющая скорости равна нулю. Из уравнения vᵧ = v₀ sin α − gt получаем время подъёма: t = v₀ sin α / g.
Почему угол 45° даёт максимальную дальность только при одинаковых высотах броска и приземления?
При равных высотах дальность выражается формулой L = v₀² sin 2α / g и достигает максимума, когда sin 2α = 1, то есть при α = 45°. Если высоты различаются, меняется время полёта, поэтому эта формула и вывод о максимуме уже не применяются.
Как изменятся расчёты, если тело бросают с высоты над землёй?
Начальную вертикальную координату нужно отсчитывать от выбранного уровня земли: y = h + v₀ sin α · t − gt²/2. Время падения находят из условия y = 0, выбирая положительный корень уравнения. Затем дальность определяют по горизонтальному движению, а скорость при приземлении — по её горизонтальной и вертикальной составляющим.
2. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
