"Физика", Грачёв А.В., Погожев В.А., Боков П.Ю.
Тело, брошенное под углом к горизонту, одновременно движется вперёд и вверх или вниз. Без сопротивления воздуха его полёт можно представить как два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали. Такое описание помогает определить форму траектории, время полёта, максимальную высоту и дальность. Для расчётов начальную скорость раскладывают на горизонтальную и вертикальную составляющие, а оба движения рассматривают за одно и то же время.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Траектория тела — линия, по которой движется брошенное тело; в модели без сопротивления воздуха она является параболой. Это понятие показывает, как меняется положение тела в пространстве. По траектории можно понять, где тело окажется в любой момент полёта.
Горизонтальная составляющая скорости — проекция скорости на горизонтальную ось. Если сопротивлением воздуха пренебречь, она остаётся постоянной, потому что на тело не действует горизонтальная сила. Эта составляющая определяет, как быстро тело продвигается вперёд.
Вертикальная составляющая скорости — проекция скорости на вертикальную ось. Она изменяется под действием ускорения свободного падения g, направленного вниз. По ней можно определить, поднимается тело или опускается, а также найти момент достижения наибольшей высоты.
Дальность полёта — горизонтальное расстояние от точки броска до точки приземления. Её находят по горизонтальной скорости и времени полёта. Дальность зависит и от начальной скорости, и от угла броска, а при разных высотах старта и приземления нужно учитывать фактическое время движения.
Полёт удобно рассматривать как два движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали. Такое разделение возможно, потому что при отсутствии сопротивления воздуха сила тяжести направлена вниз и не влияет на горизонтальную скорость. Оба движения происходят одновременно, поэтому для каждого момента времени нужно брать одно и то же значение t.
Начальную скорость v₀ раскладывают на две составляющие относительно выбранных осей. Если угол α отсчитывают от горизонта, горизонтальная составляющая равна v₀ cos α, а вертикальная — v₀ sin α. Косинус связан с прилежащим к углу горизонтальным направлением, синус — с противолежащим вертикальным. Их значения показывают, какая часть начальной скорости направлена вдоль каждой оси.
По вертикали на тело действует сила тяжести, поэтому ускорение направлено вниз и равно g. При подъёме это ускорение направлено противоположно вертикальной скорости, из-за чего скорость уменьшается. В верхней точке вертикальная скорость на мгновение становится нулевой; после этого тело начинает опускаться, и вертикальная скорость направлена вниз.
По горизонтали координата изменяется равномерно, а по вертикали — по закону равноускоренного движения. Если начало координат выбрать в точке броска, то x = v₀ cos α · t, а y = v₀ sin α · t − gt²/2. Из первого уравнения выражают время через x и подставляют во второе. В результате высота зависит от горизонтальной координаты квадратично, поэтому траектория имеет форму параболы.
Когда тело приземляется на исходной высоте, его вертикальное перемещение за весь полёт равно нулю. Из уравнения 0 = v₀ sin α · t − gt²/2 находят ненулевое время полёта T = 2v₀ sin α/g. Затем дальность вычисляют как произведение горизонтальной скорости на это время: L = v₀ cos α · T. Если высота приземления другая, время нужно находить из общего уравнения для y, а не из формулы для возвращения на начальный уровень.
На графике показан пример параболической траектории для скорости 10 м/с и угла 45°: тело поднимается, достигает максимальной высоты, затем опускается. Кривая описывается зависимостью y = x − x²/10, её вершина находится примерно на высоте 2,5 м, а точка приземления — при x = 10 м.
| Характеристика | По горизонтали | По вертикали |
|---|---|---|
| Начальная скорость | v₀ cos α | v₀ sin α |
| Ускорение | 0 | −g, если ось направлена вверх |
| Зависимость координаты от времени | x = x₀ + v₀ cos α · t | y = y₀ + v₀ sin α · t − gt²/2 |
| Зависимость скорости от времени | vₓ = v₀ cos α | vᵧ = v₀ sin α − gt |
| Характер движения | Равномерное | Равноускоренное |
| Что определяет | Горизонтальное смещение и дальность | Высоту, подъём и спуск |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала разделите начальную скорость по осям и выберите формулы для нужного направления. Затем используйте одинаковое время t в горизонтальном и вертикальном уравнениях. Знак −g подходит, когда вертикальная ось направлена вверх; при другом выборе оси знаки нужно изменить согласованно.
Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом 30° к горизонту. Найдём горизонтальную и вертикальную составляющие скорости. Поскольку угол задан относительно горизонта, для горизонтальной проекции берём косинус, а для вертикальной — синус.
Проверка смысла: угол небольшой, поэтому большая часть скорости направлена горизонтально. Ответ: vₓ ≈ 8,7 м/с, vᵧ₀ = 5 м/с.
Мяч брошен со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту и приземлился на уровне броска. Нужно найти время полёта при g = 10 м/с². Сначала рассматриваем только вертикальное движение, ведь именно оно определяет, когда мяч вернётся на прежнюю высоту.
Полученное время включает и подъём, и спуск. Ответ: мяч находился в полёте 2 с.
Тело брошено с земли со скоростью 20 м/с под углом 45° к горизонту; g = 10 м/с². Нужно найти максимальную высоту и дальность, считая, что тело приземляется на исходном уровне. Сначала найдём вертикальную составляющую: она нужна для определения времени подъёма и высоты.
Проверка: тело летит вперёд с постоянной горизонтальной скоростью и возвращается на уровень старта после равных по длительности подъёма и спуска. Ответ: максимальная высота 10 м, дальность полёта 40 м.
Первая ошибка — считать, что скорость тела постоянна по величине. Её допускают, потому что горизонтальная составляющая действительно не меняется, но вертикальная под действием тяжести меняется. Проверка: отдельно проследите за vₓ и vᵧ; если складываете их в общую скорость, учитывайте изменение vᵧ.
Вторая ошибка — менять местами синус и косинус при разложении скорости. Это происходит, если забыть, что угол отсчитывается от горизонта, а не от вертикали. Проверка: горизонтальная составляющая прилежит к углу и равна v₀ cos α, вертикальная — v₀ sin α.
Третья ошибка — полагать, что в верхней точке скорость тела равна нулю. На мгновение обнуляется только вертикальная составляющая: горизонтальная продолжает сохраняться. Проверка: представьте движение по горизонтали в этот момент или вычислите полную скорость по её двум составляющим.
Четвёртая ошибка — применять формулу дальности для исходной высоты, если тело приземляется выше или ниже точки броска. Так поступают, забывая, что формула предполагает нулевое вертикальное перемещение за полный полёт. Проверка: сравните высоты старта и финиша; если они различаются, сначала найдите время из общего уравнения y = y₀ + vᵧ₀t − gt²/2, затем вычислите горизонтальное смещение.
Для изучения полёта тела нужно уметь раскладывать вектор на составляющие и применять формулы равномерного и равноускоренного движения. Пригодятся также знания о движении под действием ускорения свободного падения: по вертикали действует та же закономерность, что и при свободном падении, с учётом начальной скорости. Разложение движения на независимые направления используют и в других задачах механики, например при изучении полёта снарядов и движения спутников. Общий приём — выбрать оси, описать движение по каждой из них и связать результаты общим временем.
Почему движение тела можно разделить на горизонтальное и вертикальное?
При отсутствии сопротивления воздуха сила тяжести направлена только вертикально, поэтому горизонтальное движение она не изменяет. Движения по двум направлениям можно описывать отдельно, но время у них общее.
Почему траектория тела, брошенного под углом, является параболой?
Горизонтальная координата меняется пропорционально времени, а вертикальная содержит зависимость от квадрата времени из-за ускорения свободного падения. Если исключить время из этих зависимостей, получится уравнение параболы.
Чему равна скорость тела в верхней точке траектории?
В верхней точке вертикальная составляющая скорости равна нулю, потому что тело на мгновение перестаёт подниматься. Горизонтальная составляющая сохраняется, поэтому скорость тела обычно не равна нулю.
Как угол броска влияет на дальность полёта?
При заданной начальной скорости угол определяет, как скорость распределяется между горизонтальным и вертикальным направлениями. Если тело приземляется на исходной высоте и сопротивлением воздуха пренебрегают, дальность максимальна при угле 45°; углы, дополняющие друг друга до 90°, дают одинаковую дальность.
Можно ли применять формулу дальности, если тело приземляется ниже точки броска?
Формулу дальности для приземления на исходной высоте применять нельзя: она опирается на равенство высот в начале и конце полёта. Сначала нужно найти время из уравнения вертикального движения, а затем умножить его на горизонтальную составляющую скорости.
§ 9. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
