"Физика", Грачёв А.В., Погожев В.А., Боков П.Ю.
Криволинейным называют движение по траектории, которая не является прямой: например, поворот автомобиля или движение точки на ободе колеса. При таком движении вектор скорости обычно меняет направление, поэтому тело имеет ускорение даже при постоянном модуле скорости. Главные понятия темы — мгновенная скорость, касательная к траектории и центростремительное ускорение. Для движения по окружности используются формулы aц = v²/R и v = 2πR/T = 2πRν.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Криволинейное движение — движение, при котором траектория тела имеет вид кривой. При прямолинейном движении траектория является прямой, а при криволинейном её направление постоянно меняется. Это понятие помогает описывать повороты, движение по дуге и орбитам.
Мгновенная скорость — вектор скорости тела в данный момент времени; его модуль обозначают v. Вектор направлен по касательной к траектории в выбранной точке. С его помощью определяют не только быстроту движения, но и направление перемещения тела именно сейчас.
Центростремительное ускорение — ускорение при движении по окружности, направленное к её центру; его обозначают aц. Оно показывает, как быстро изменяется направление скорости. Знание aц позволяет связать скорость тела с радиусом его круговой траектории.
Равномерное движение по окружности — движение с постоянным модулем скорости, но изменяющимся направлением её вектора. Поэтому слово «равномерное» относится только к быстроте движения, а не ко всему вектору скорости. Для такого движения особенно важны радиус R, период T и частота ν.
Скорость является векторной величиной, поэтому у неё есть модуль и направление. На кривой тело может сохранять одну и ту же быстроту, но поворачивать вектор скорости. Следовательно, скорость изменяется даже тогда, когда её числовое значение остаётся постоянным.
Рассмотрим очень маленький участок траектории. За короткое время тело проходит по нему почти прямо, а направление этого малого перемещения совпадает с касательной к кривой. При уменьшении участка касательная всё точнее показывает направление движения в данной точке, поэтому мгновенная скорость направлена именно по касательной.
Ускорение характеризует изменение скорости за время. Если соседние векторы скорости направить из одной точки, разность между ними покажет изменение скорости: при повороте траектории эта разность ненулевая. Значит, изменение направления скорости само по себе достаточно для появления ускорения, даже без изменения её модуля.
При движении по окружности касательные в соседних точках поворачиваются в сторону центра. Изменение вектора скорости имеет радиальное направление, то есть направлено к центру окружности; поэтому ускорение называют центростремительным. Оно не разгоняет тело вдоль касательной, а непрерывно меняет направление его движения.
За малое время геометрия двух близких векторов скорости даёт отношение изменения скорости к самой скорости, равное отношению пройденной дуги к радиусу. Так как длина дуги за время Δt равна vΔt, после деления на Δt получают aц = v²/R. Следовательно, ускорение увеличивается с квадратом скорости и уменьшается при увеличении радиуса.
За один период T тело проходит длину окружности 2πR, поэтому v = 2πR/T. Если частота ν показывает число оборотов за секунду, то T = 1/ν и v = 2πRν. Угловая скорость ω равна углу поворота за время: ω = 2π/T = 2πν, поэтому линейная скорость связана с ней формулой v = ωR.
| Свойство | Прямолинейное движение | Произвольное криволинейное движение | Равномерное движение по окружности |
|---|---|---|---|
| Вид траектории | Прямая линия | Кривая произвольной формы | Окружность |
| Направление скорости | Вдоль прямой | По касательной к траектории | По касательной к окружности |
| Изменение модуля скорости | Может изменяться или оставаться постоянным | Может изменяться или оставаться постоянным | Не изменяется |
| Изменение направления скорости | Не изменяется | Обычно изменяется | Непрерывно изменяется |
| Направление ускорения | Вдоль прямой или ускорение равно нулю | Зависит от изменения модуля и направления скорости | К центру окружности |
| Основные формулы | v = const; s = vt | v = Δs/Δt; a = Δv/Δt | aц = v²/R; v = 2πR/T = 2πRν |
| Примеры движения | Поезд на прямом участке пути | Мяч, брошенный под углом | Точка на ободе вращающегося колеса |
Сначала найдите в таблице форму траектории, затем сравните модуль и направление скорости. Если траектория окружность, можно применять специальные формулы периода, частоты и центростремительного ускорения. Для произвольной кривой направление ускорения не всегда совпадает с направлением к одному фиксированному центру.
Условие. Автомобиль движется по дороге, имеющей плавный поворот. Нужно определить направление его мгновенной скорости в нескольких точках траектории. Числовые данные не нужны, поскольку требуется установить направление вектора.
Ответ: в каждой точке скорость направлена по касательной к дороге, в сторону движения автомобиля.
Условие. Автомобиль движется по окружности радиусом R = 50 м со скоростью v = 10 м/с. Найдём модуль и направление центростремительного ускорения.
Ответ: aц = 2 м/с², направление — к центру окружности.
Условие. Колесо радиусом R = 0,3 м вращается с частотой ν = 2 об/с. Найдём линейную скорость точки на ободе и её центростремительное ускорение.
Ответ: v = 1,2π м/с ≈ 3,77 м/с; aц = 4,8π² м/с² ≈ 47,4 м/с², к центру колеса.
Отсутствие ускорения при постоянной скорости. Ошибка возникает из-за отождествления скорости с её модулем. Проверьте направление вектора: если оно меняется, ускорение есть.
Скорость направляют к центру окружности. Так путают скорость с центростремительным ускорением. Проведите касательную: скорость лежит на ней, а к центру направлено ускорение.
В формулу подставляют диаметр вместо радиуса. Диаметр вдвое больше радиуса, поэтому результат ускорения получится вдвое меньше правильного. Перед вычислением проверьте, что величина R — расстояние от центра до траектории.
Равномерное движение по окружности считают полностью неизменным. Постоянным здесь является только модуль скорости, а её направление меняется каждую секунду. Сравните векторы скорости в двух разных точках окружности.
Для понимания темы нужны представления о векторах скорости и ускорения, пути, перемещении, а также о равномерном и равноускоренном прямолинейном движении. Эти знания помогают отличать изменение модуля скорости от изменения её направления. Особенно полезно уметь складывать и сравнивать векторы.
Криволинейное движение встречается при изучении вращения тел, движения по окружности, сил тяготения и искусственных спутников. Орбита спутника является примером движения, где геометрия траектории связана с действующими силами. Формулы этой темы позволяют описывать такие движения количественно.
В динамике центростремительное ускорение создаётся равнодействующей сил, направленной к центру траектории. Например, при повороте автомобиля такую роль частично играет сила трения между шинами и дорогой. Если нужной силы недостаточно, тело не сможет двигаться по заданной окружности.
Может ли тело двигаться равномерно и одновременно иметь ускорение?
Да. При равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен, но её направление непрерывно изменяется, поэтому появляется ускорение.
Почему скорость направлена по касательной, а ускорение — к центру окружности?
За очень малый промежуток времени тело перемещается почти вдоль касательной к траектории, поэтому туда направлена мгновенная скорость. Изменение этого направления при движении по окружности происходит в сторону центра, поэтому туда направлено центростремительное ускорение.
Что изменяется при равномерном движении по окружности?
Изменяется направление вектора скорости и направление радиуса, проведённого к движущейся точке. Модуль скорости, радиус и угловая скорость остаются постоянными.
Как изменится центростремительное ускорение при увеличении скорости в два раза?
По формуле aц = v²/R ускорение пропорционально квадрату скорости. При увеличении скорости в два раза оно возрастёт в четыре раза, если радиус останется прежним.
В каких реальных ситуациях встречается криволинейное движение?
Так движутся автомобили на поворотах, планеты и спутники по орбитам, точки вращающегося колеса и мячи, летящие по дуге. Криволинейной бывает и траектория движения лифта с боковым отклонением или частицы в магнитном поле.
§ 8. Криволинейное движение
