"Физика", Грачёв А.В., Погожев В.А., Боков П.Ю.
Сложение движений помогает определить, как движется тело относительно берега, если оно одновременно перемещается относительно воды, платформы или другого тела. Главное правило: скорости складывают как векторы, то есть учитывают не только их значения, но и направления. Поэтому при движении по течению скорости складываются, против течения — вычитаются, а при переправе поперёк реки используют составляющие скорости и теорему Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение движений — нахождение движения тела относительно выбранной системы отсчёта с учётом его движения относительно другой системы. Например, лодка движется относительно воды, а вода — относительно берега. Это понятие нужно, чтобы описывать одно движение с разных точек зрения.
Скорость тела относительно воды — скорость, с которой тело перемещается в системе отсчёта, связанной с водой. Её показывает движение лодки среди частиц воды, если мысленно убрать течение. Она помогает определить, как лодка управляется сама, независимо от переноса водой.
Скорость течения — скорость воды относительно берега. Течение переносит находящееся в воде тело, даже если оно направлено поперёк реки. Эта скорость показывает, насколько быстро меняется положение воды и лодки вдоль берега.
Скорость тела относительно берега — скорость, получаемая векторным сложением скорости тела относительно воды и скорости течения. Индексы у скорости указывают, относительно чего рассматривают движение. Такая скорость нужна для определения настоящей траектории, времени и места прибытия тела.
Одно и то же тело можно наблюдать из разных систем отсчёта: например, из лодки, с поверхности воды или с берега. В каждой системе меняется положение тела за одно и то же время, поэтому меняются его скорость и траектория. Выбор системы отсчёта зависит от задачи: для времени переправы удобно сравнивать лодку с берегом, а для работы мотора — с водой.
Скорости складывают по правилу векторов: v₍т/б₎ = v₍т/в₎ + v₍в/б₎. Здесь v₍т/б₎ — скорость тела относительно берега, v₍т/в₎ — скорость тела относительно воды, а v₍в/б₎ — скорость воды относительно берега. Такое правило учитывает сразу два перемещения, происходящих за один и тот же промежуток времени.
При движении по течению векторы скорости лодки и воды направлены одинаково. За каждую секунду лодка проходит относительно воды свой путь, а течение дополнительно переносит её вперёд, поэтому модули скоростей складываются. При движении против течения перенос воды направлен навстречу лодке, поэтому результирующая скорость равна разности модулей.
Если лодка направлена поперёк реки, её скорость относительно воды перпендикулярна скорости течения. Эти векторы образуют прямоугольный треугольник, где результирующая скорость является гипотенузой. Поэтому её модуль находят по теореме Пифагора: v = √(vлодки² + vтечения²).
Векторная диаграмма помогает увидеть не только модуль, но и направление результирующей скорости. Разложив её на поперечную и продольную составляющие, можно найти время движения, снос или угол, под которым надо направить лодку. Сначала выбирают известные направления, затем записывают равенства для составляющих и только после этого подставляют числа.
| Случай движения | Направления скоростей | Как найти результирующую скорость | Что можно определить |
|---|---|---|---|
| Движение по течению | Скорость лодки и течения направлены одинаково | v = vлодки + vтечения | Скорость и путь за время движения |
| Движение против течения | Скорости направлены противоположно | v = vлодки − vтечения | Скорость продвижения относительно берега |
| Движение поперёк течения | Скорости перпендикулярны | v = √(vлодки² + vтечения²) | Результирующую скорость и снос |
| Движение под произвольным углом | Между векторами есть угол α | v = √(v₁² + v₂² + 2v₁v₂ cos α) | Модуль и направление движения |
Таблицу используют после того, как определили направления векторов относительно берега. Если скорости не перпендикулярны и не противоположны, применяют формулу для произвольного угла. Для времени или сноса дополнительно выделяют нужную составляющую результирующей скорости.
Ширина реки равна 120 м, скорость лодки поперёк берега относительно воды — 1,5 м/с, скорость течения — 0,5 м/с. Нужно найти время переправы и снос лодки. Поперечная скорость отвечает за пересечение реки, а течение — за смещение вдоль берега.
Ответ: лодка переправится за 80 с и будет снесена течением на 40 м.
Катер движется относительно воды со скоростью 4 м/с, течение имеет скорость 1 м/с. Найдём скорости катера относительно берега при движении по течению и против него. Направления скоростей в двух случаях различны, поэтому применяются разные действия.
Ответ: по течению катер движется со скоростью 5 м/с, против течения — 3 м/с.
Река имеет ширину 200 м, скорость течения равна 3 м/с, а скорость лодки относительно воды — 5 м/с. Лодка должна попасть точно напротив места старта, поэтому её продольная скорость должна компенсировать течение. Направление против течения выбирают так, чтобы составляющая 3 м/с была направлена вдоль берега.
Ответ: лодку нужно направить примерно на 37° против течения от перпендикуляра к берегу; время переправы — 50 с.
Складывают модули скоростей без учёта направлений. Так получают неверный результат, потому что скорость является векторной величиной. Проверьте себя рисунком со стрелками: одинаковые направления дают сумму, разные — другую операцию.
Путают скорость относительно воды и берега. Скорость лодки относительно воды описывает её собственное движение, а берег видит ещё и перенос течением. Перед решением подпишите, к какой системе отсчёта относится каждая величина.
При движении против течения складывают скорости. Ошибка появляется, если не отметить, что векторы направлены навстречу. Сравните направления стрелок и убедитесь, что итоговая скорость меньше скорости лодки относительно воды.
Для времени берут полную скорость лодки относительно берега. Полная скорость направлена по диагонали и не показывает скорость приближения к противоположному берегу. В формуле t = S/v используйте только поперечную составляющую.
Для решения задач нужны система отсчёта, скорость, перемещение и правила сложения векторов. При движении поперёк реки используется прямоугольный треугольник и теорема Пифагора, а при произвольном угле — разложение на составляющие.
Сложение движений применяют не только при плавании. Такой подход нужен для расчёта полёта самолёта с учётом ветра, движения человека на эскалаторе или тележки на движущейся платформе.
Почему скорость лодки относительно берега отличается от скорости относительно воды?
Вода сама движется относительно берега и переносит лодку вместе с собой. Поэтому скорость лодки относительно берега складывается из её скорости относительно воды и скорости течения.
Как понять, нужно складывать скорости или вычитать?
Сначала изобразите скорости стрелками. Если они направлены одинаково, модули складываются, а если противоположно — из большего вычитается меньший.
Почему лодку сносит течением, даже если она направлена к противоположному берегу?
Скорость лодки относительно воды направлена поперёк реки, но скорость течения направлена вдоль неё. Векторная сумма этих скоростей имеет составляющую вдоль берега, поэтому лодка смещается по течению.
Как направить лодку, чтобы попасть точно напротив места старта?
Лодку направляют под углом против течения. Боковая составляющая её скорости должна быть равна скорости течения и направлена в противоположную сторону.
Какую скорость использовать, чтобы найти время переправы?
Нужна составляющая скорости, перпендикулярная берегу. Время находят делением ширины реки на эту составляющую, а не на всю скорость лодки относительно берега.
§ 7. Примеры решения задач на сложение движений
