2. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Определения и обозначения

Скорость тела в момент броска обозначают v₀, а угол её направления к горизонту — α. Начальную скорость раскладывают на две составляющие: v₀ cos α — горизонтальную и v₀ sin α — вертикальную. Такое разложение показывает, какая часть скорости отвечает за продвижение вперёд, а какая — за подъём.

Траектория — это линия, которую описывает движущееся тело. При отсутствии сопротивления воздуха траектория брошенного под углом тела имеет форму параболы. Зная её вид, можно связать высоту тела с его горизонтальным положением.

Время полёта — промежуток от броска до возвращения тела на исходный уровень. Оно определяется вертикальным движением, потому что именно по вертикали тело должно снова оказаться на высоте старта. Это понятие позволяет затем определить, сколько времени тело двигалось вперёд.

Дальность полёта — горизонтальное перемещение от точки броска до точки приземления. Максимальная высота — наибольшее поднятие тела над точкой броска. Эти величины описывают разные стороны движения: дальность — продвижение вдоль земли, а высота — подъём.

Как это устроено

При броске под углом начальную скорость удобно разделить на горизонтальную и вертикальную составляющие. Это возможно, потому что движение можно описывать отдельно вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Горизонтальная составляющая задаёт продвижение тела, а вертикальная — его подъём и последующее падение.

Если не учитывать сопротивление воздуха, на тело действует только сила тяжести, направленная вниз. Поэтому ускорение по горизонтали равно нулю, а по вертикали равно g вниз. Выбор направления оси влияет на знак: при оси y, направленной вверх, вертикальное ускорение записывают как −g.

Без горизонтального ускорения скорость vₓ остаётся равной v₀ cos α, поэтому координата x растёт равномерно: x = v₀ cos α · t. Вертикально тело движется с начальной скоростью v₀ sin α и ускорением −g, как при вертикальном движении с постоянным ускорением. Если точка броска выбрана за начало координат, y = v₀ sin α · t − gt²/2, а вертикальная скорость равна vᵧ = v₀ sin α − gt.

Чтобы получить уравнение траектории, из уравнения x выражают время: t = x/(v₀ cos α). Подстановка этого выражения в формулу для y приводит к зависимости y от x, содержащей x²; это уравнение параболы. Парабола возникает потому, что за равные промежутки времени горизонтальное перемещение одинаково, а вертикальное перемещение меняется из-за ускорения.

При приземлении на исходный уровень вертикальная координата снова равна нулю. Уравнение y = v₀ sin α · t − gt²/2 позволяет найти ненулевое время возвращения, а затем по нему — дальность. В наивысшей точке вертикальная скорость становится нулевой: подъём прекращается, но горизонтальная скорость сохраняется.

Величины и уравнения движения при броске под углом

Сначала выберите оси координат и укажите, где находится начало отсчёта: от этого зависят координаты и знаки. Затем решайте горизонтальную и вертикальную части раздельно, связывая их общим временем t. Таблица подходит для обоих направлений броска, но условие о высоте приземления нужно учитывать отдельно.

Разбор задач

Начальные составляющие скорости

Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом 30° к горизонту. Найдите начальные составляющие скорости.

1. Горизонтальная составляющая равна v₀ cos α, вертикальная — v₀ sin α. Такое разделение нужно, чтобы описывать каждое направление отдельно.
2. Подставим данные: vₓ₀ = 10 cos 30° = 10 · √3/2 ≈ 8,7 м/с. Здесь косинус выбран для проекции на горизонтальную ось.
3. Для вертикальной проекции получаем vᵧ₀ = 10 sin 30° = 10 · 1/2 = 5 м/с. Положительный знак означает, что тело вначале движется вверх.

Ответ: vₓ₀ ≈ 8,7 м/с, vᵧ₀ = 5 м/с.

Время полёта и дальность на одном уровне

Мяч брошен под углом 45° со скоростью 20 м/с и приземлился на уровень броска. Найдите время полёта и дальность, считая g = 10 м/с².

1. Выберем точку броска за начало координат. По вертикали y = 20 sin 45° · t − 5t²; при приземлении y = 0.
2. Уравнение 0 = t(20 sin 45° − 5t) имеет корень t = 0, соответствующий самому броску, и корень T = 20 sin 45°/5 = 2√2 ≈ 2,8 с. Для времени полёта берём второй корень.
3. По горизонтали скорость постоянна: vₓ = 20 cos 45° = 10√2 м/с. Тогда дальность L = vₓT = 10√2 · 2√2 = 40 м.

Ответ: время полёта около 2,8 с, дальность 40 м.

Бросок с высоты

Тело брошено с высоты 20 м со скоростью 15 м/с под углом 30° вверх к горизонту. Определите время до падения и горизонтальное перемещение, считая g = 10 м/с².

1. Начальные составляющие: vᵧ₀ = 15 sin 30° = 7,5 м/с, vₓ₀ = 15 cos 30° ≈ 13 м/с. Вертикальную координату отсчитываем от земли, поэтому y₀ = 20 м.
2. Условие падения на землю: 0 = 20 + 7,5t − 5t². Решение даёт t = (7,5 ± √456,25)/10; отрицательное значение времени не подходит, поэтому берём положительный корень t ≈ 2,9 с.
3. Горизонтальное перемещение за это время равно x = vₓ₀t ≈ 13 · 2,9 ≈ 37 м. Используем положительное время падения и постоянную горизонтальную скорость.

Ответ: время до падения около 2,9 с, горизонтальное перемещение около 37 м.

Типичные ошибки

Считать, что скорость всё время направлена под углом броска, — значит забыть о действии тяжести на вертикальную составляющую. Угол скорости меняется во время полёта: горизонтальная составляющая постоянна, вертикальная постепенно уменьшается, а затем становится направленной вниз. Ошибку допускают, перенося неизменное направление начального вектора на всё движение. Проверка: отдельно запишите vₓ и vᵧ и проследите за изменением vᵧ.

Если ось y направлена вверх, вертикальное ускорение равно −g, а не +g. Знак «плюс» при g приводит к тому, что расчёт описывает ускорение вверх, хотя тяжесть направлена вниз. Ошибку часто вызывают формулы, записанные для другой ориентации осей. Проверьте себя по изменению скорости: во время подъёма вертикальная скорость должна уменьшаться.

В наивысшей точке не вся скорость тела равна нулю: там обнуляется только вертикальная составляющая. Горизонтальная составляющая не меняется, поскольку горизонтального ускорения нет. Ошибку допускают, путая остановку подъёма с полной остановкой тела. Проверка: подставьте высшее положение в vᵧ = v₀ sin α − gt, а vₓ оставьте равной v₀ cos α.

Формулы времени полёта и дальности для приземления на исходный уровень нельзя применять при другой высоте падения. В таком случае неверным будет условие y = 0 относительно точки броска, ведь место приземления находится ниже или выше неё. Ошибку допускают, не сопоставив начальную и конечную высоты. Запишите координату приземления в уравнении y(t) и найдите положительное время достижения этой высоты.

Связь с другими темами

Для решения задач нужно уметь раскладывать вектор на компоненты и применять уравнения движения с постоянным ускорением. Эти навыки позволяют перевести начальную скорость в горизонтальную и вертикальную части. Затем каждую часть движения описывают подходящими уравнениями.

Тема соединяет свободное падение с горизонтальным движением с постоянной скоростью. По вертикали тело ускоряется под действием тяжести, а по горизонтали движется равномерно. Общим для этих процессов остаётся время.

Разделение движения на независимые направления пригодится при изучении движения тел в поле тяжести и при решении задач о бросках с высоты. Такой способ помогает не смешивать изменения координат и скорости по разным осям. Он также позволяет находить время падения, а затем горизонтальное перемещение.

Что запомнить

• При отсутствии сопротивления воздуха горизонтальное ускорение равно нулю.
• Вертикальное ускорение направлено вниз и равно g по модулю.
• Начальная скорость имеет составляющие v₀ cos α по горизонтали и v₀ sin α по вертикали.
• В наивысшей точке вертикальная составляющая скорости равна нулю.
• Траектория тела при броске под углом — парабола.
• Формулы времени полёта и дальности зависят от того, на какой высоте тело приземляется.