"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Тело, брошенное под углом к горизонту, движется одновременно вперёд и вверх или вниз под действием силы тяжести. Такое движение удобно представить как сумму равномерного движения по горизонтали и равноускоренного движения по вертикали. Этот подход позволяет определить траекторию, время полёта, дальность и максимальную высоту. При одинаковых уровнях броска и падения наибольшая дальность достигается для угла 45°.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту — движение с начальной скоростью, направленной под углом α к горизонтали, если сопротивлением воздуха пренебрегают. Здесь v₀ — начальная скорость, α — угол броска, g — ускорение свободного падения. Такое описание нужно, чтобы разделить сложное движение на более простые части.
Траектория полёта — линия, которую тело описывает в пространстве. При броске под углом к горизонту она имеет форму параболы. По траектории можно определить положение тела и увидеть, как оно поднимается и опускается.
Дальность полёта — горизонтальное расстояние от точки броска до точки падения. Обычно её обозначают L или l. Эта величина показывает, насколько далеко от места броска окажется тело.
Максимальная высота подъёма — наибольшее расстояние тела над уровнем броска. В этой точке вертикальная скорость равна нулю, поэтому высоту удобно находить через условие vᵧ = 0. Если бросок начинается над землёй, отдельно указывают высоту над землёй и высоту над точкой броска.
Начальную скорость раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие, потому что действие силы тяжести направлено только вертикально. Проекция вектора на горизонтальную ось равна v₀ cos α, а проекция на вертикальную ось — v₀ sin α. Косинус появляется у прилежащего к углу катета, а синус — у противолежащего.
После такого разложения движение можно рассматривать как сумму двух независимых движений. По горизонтали тело сохраняет скорость, поскольку горизонтальных сил нет. По вертикали оно движется равноускоренно: сила тяжести каждую секунду изменяет вертикальную скорость на величину g.
Если начало координат выбрано в точке броска, горизонтальная координата сначала равна нулю и изменяется по закону x = v₀ cos α · t. Вертикальная координата также начинается с нуля, но на неё влияют начальная вертикальная скорость и падение: y = v₀ sin α · t − gt²/2. Знак минус перед вторым слагаемым показывает, что ускорение направлено вниз.
Чтобы получить форму траектории, из первого уравнения выражают время: t = x/(v₀ cos α). Затем это выражение подставляют во второе уравнение. В результате получается y = x tg α − gx²/(2v₀² cos² α), то есть квадратная зависимость y от x и парабола.
Для одинаковых уровней броска и падения в момент приземления y = 0. Ненулевое решение даёт время полёта t = 2v₀ sin α/g, а дальность равна L = v₀² sin 2α/g. Максимальная высота находится из условия vᵧ = 0 и равна h = v₀² sin² α/(2g); так как sin 2α наибольший при 2α = 90°, максимальная дальность достигается при α = 45°.
Таблица помогает не смешивать величины, относящиеся к разным направлениям. Сначала определите ось, затем выберите соответствующую строку и используйте её для записи уравнений.
| Характеристика | Горизонтальное направление | Вертикальное направление |
|---|---|---|
| Начальная составляющая скорости | v₀ cos α | v₀ sin α |
| Ускорение | 0 | −g, если ось направлена вверх |
| Закон изменения координаты | x = v₀ cos α · t | y = v₀ sin α · t − gt²/2 |
| Закон изменения скорости | vₓ = v₀ cos α | vᵧ = v₀ sin α − gt |
| Тип движения | Равномерное | Равноускоренное |
| Условие в верхней точке траектории | vₓ сохраняется | vᵧ = 0 |
Задача 1. Камень брошен со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту и упал на тот же уровень. Найдём время полёта и дальность, приняв g = 10 м/с².
Ответ: t = 2 с, L ≈ 34,6 м. Использована формула для одинаковых уровней, поскольку камень приземлился на высоте броска.
Задача 2. Мяч брошен со скоростью 15 м/с под углом 45°. Найдём максимальную высоту над точкой броска и координаты через 1 с, считая g = 10 м/с².
Ответ: h ≈ 5,6 м; координаты через 1 с: x ≈ 10,6 м, y ≈ 5,6 м.
Задача 3. Снаряд выпущен с высоты 20 м со скоростью 25 м/с под углом 37°. Найдём время полёта и дальность, используя sin 37° ≈ 0,6, cos 37° ≈ 0,8 и g = 10 м/с².
Ответ: t = 4 с, L = 80 м. При начальной высоте нельзя применять формулу 2v₀ sin α/g.
Считать движение по горизонтали равноускоренным. Так ошибаются, перенося свойства вертикального движения на обе оси. При отсутствии сопротивления воздуха горизонтальное ускорение равно нулю, поэтому vₓ постоянно; это можно проверить по второму закону Ньютона.
Путать составляющие скорости. Иногда берут v₀ sin α для горизонтали и v₀ cos α для вертикали. Проверьте рисунок или прямоугольный треугольник: прилежащая к углу горизонтальная проекция — v₀ cos α, вертикальная — v₀ sin α.
Считать скорость в верхней точке нулевой. Нулевой становится только вертикальная составляющая, поскольку тело перестаёт подниматься. Горизонтальная скорость сохраняется, значит, тело продолжает двигаться вперёд.
Применять формулы одинаковых уровней при разной высоте. Эти формулы основаны на условии y = 0 в конце полёта относительно точки броска. Если высоты различны, составьте общее уравнение координаты и выберите положительный корень времени.
Для решения задач нужны разложение вектора на составляющие, законы равноускоренного движения и формулы свободного падения. Выбор осей и запись проекций опираются на второй закон Ньютона: ускорение направлено туда же, куда и равнодействующая сила.
Эти результаты применяют при изучении движения снарядов, спортивных бросков и баллистики. Они также помогают решать задачи на выбор оптимального угла и дальность полёта.
Почему тело одновременно движется равномерно и равноускоренно?
Начальную скорость можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие. Сопротивлением воздуха пренебрегают, поэтому по горизонтали ускорения нет, а по вертикали действует ускорение свободного падения.
Почему траектория имеет форму параболы?
Координата x растёт пропорционально времени, а координата y содержит линейный и квадратный по времени члены. Если исключить время из этих уравнений, получается квадратная зависимость y от x, то есть парабола.
Что происходит со скоростью тела в верхней точке?
В верхней точке вертикальная составляющая скорости становится равной нулю. Горизонтальная составляющая сохраняется, поэтому полная скорость тела не равна нулю.
Всегда ли угол 45° обеспечивает максимальную дальность?
Нет. Угол 45° даёт максимальную дальность только при одинаковых уровнях броска и падения и при отсутствии сопротивления воздуха. Если тело бросают с высоты, оптимальный угол обычно меньше 45°.
Как изменится движение, если тело бросают с высоты над землёй?
Время падения увеличится, потому что телу нужно пройти большее расстояние по вертикали. Формула дальности для одинаковых уровней уже неприменима: сначала находят время из квадратного уравнения для вертикальной координаты.
§ 1.24. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
