§ 1.23. Свободное падение

Определения и обозначения

Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести. Сопротивлением воздуха пренебрегают, когда оно мало по сравнению с силой тяжести или это оговорено в условии. Такая модель позволяет описывать движение простыми формулами равноускоренного движения.

Ускорение свободного падения обозначают буквой g. Оно направлено вертикально вниз, к поверхности Земли, а вблизи неё по модулю равно примерно 9,8 м/с². В задачах иногда используют приближённое значение g = 10 м/с².

Начальная скорость — скорость тела в момент, который принят за начало отсчёта времени. Если тело просто отпустили, v₀ = 0; если его бросили вверх или вниз, начальная скорость отлична от нуля и получает знак в соответствии с выбранной осью. Это условие обязательно подставляют в формулы движения.

Ось координат и начало отсчёта задают, в каком направлении считают координату положительной и от какой точки измеряют положение тела. От этого зависят знаки координаты, скорости и ускорения, но не физическое движение тела. Удобный выбор оси заметно упрощает решение.

Как это устроено

Сила тяжести возле Земли равна Fтяж = mg, поэтому она тем больше, чем больше масса тела. По второму закону Ньютона ускорение равно отношению силы к массе: a = Fтяж/m = mg/m = g. Масса сокращается, и потому в вакууме тяжёлое и лёгкое тела получают одинаковое ускорение.

Знак ускорения появляется из-за выбора координатной оси. Если положительное направление направлено вниз, проекция ускорения равна +g; если вверх — −g. Скорость тоже записывается со знаком: движение в сторону положительной оси даёт положительную проекцию, а в противоположную сторону — отрицательную.

При постоянном ускорении скорость меняется равномерно: v = v₀ + at. Координата находится по формуле y = y₀ + v₀t + at²/2, где y₀ и v₀ задают начальное состояние. Подставляя a = +g или a = −g, получают формулы для любой вертикальной задачи.

Если тело отпустили, то v₀ = 0. При оси вниз получаем v = gt и s = gt²/2: скорость растёт прямо пропорционально времени, а путь — квадрату времени. Поэтому за каждую следующую равную секунду тело проходит всё большее расстояние.

При броске вверх начальная скорость направлена вверх, а ускорение — вниз. Скорость уменьшается до нуля в верхней точке, после чего меняет направление и становится направленной вниз. Ускорение при этом не меняется: оно всё время равно g по модулю и направлено вниз.

График показывает, что при оси, направленной вниз, скорость растёт по прямой, а координата — по параболе. Обе зависимости начинаются с нуля, потому что начало координат совпадает с точкой отпускания, а начальная скорость равна нулю. Кривизна графика координаты связана с постоянным ускорением.

Формулы вертикального движения под действием силы тяжести

Сначала выберите ось и только потом подставляйте знак ускорения в таблице. В формулах координаты y₀ — начальная координата, а v₀ — проекция начальной скорости. Путь s всегда берут неотрицательным, поэтому его выражение может отличаться от знака перемещения.

Разбор задач

1. Падение без начальной скорости

Условие: тело отпустили и наблюдали в течение времени t. Найти скорость и путь падения, сопротивлением воздуха пренебречь. Численное значение времени в условии не задано, поэтому ответ выразим через t.

1. Направим ось вниз от точки отпускания. Тогда v₀ = 0, a = g, а начальный путь равен нулю.
2. Используем формулы равноускоренного движения: v = v₀ + gt и s = v₀t + gt²/2.
3. Подставим v₀ = 0: v = gt, s = gt²/2.

Ответ: скорость по модулю равна gt, путь падения — gt²/2. Если дано конкретное время, достаточно подставить его и выбранное значение g.

2. Бросок вертикально вниз

Условие: камень бросили вниз с начальной скоростью v₀ с высоты H. Найти время падения и скорость перед землёй. Ось направим вниз от точки броска, поэтому координата земли равна H.

1. Запишем координату: y = v₀t + gt²/2. В момент падения y = H, значит gt²/2 + v₀t − H = 0.
2. Решим квадратное уравнение. Физически подходит только положительный корень: t = (√(v₀² + 2gH) − v₀)/g; отрицательное значение времени отбрасываем.
3. Скорость перед землёй найдём из v = v₀ + gt. После подстановки времени получаем v = √(v₀² + 2gH).

Ответ: t = (√(v₀² + 2gH) − v₀)/g, скорость по модулю перед землёй равна √(v₀² + 2gH). Направление этой скорости — вниз.

3. Бросок вертикально вверх

Условие: тело бросили вверх с начальной скоростью v₀. Определить максимальную высоту подъёма над точкой броска и время возвращения на исходный уровень.

1. Выберем ось вверх. Тогда v = v₀ − gt, а в верхней точке v = 0. Из этого условия время подъёма tпод = v₀/g.
2. Подставим это время в формулу координаты: h = v₀tпод − gtпод²/2. После упрощения получаем h = v₀²/(2g).
3. Движение вверх и вниз до исходного уровня симметрично по времени: спуск занимает столько же, сколько подъём. Поэтому tвозв = 2v₀/g.

Ответ: максимальная высота h = v₀²/(2g), время возвращения на исходный уровень tвозв = 2v₀/g. Сопротивление воздуха здесь не учитывается.

Типичные ошибки

Ошибка — считать ускорение равным нулю в верхней точке броска вверх. Так происходит из-за смешения понятий «скорость» и «ускорение»: нулевой оказывается только мгновенная скорость. Проверка проста: сила тяжести действует и в верхней точке, значит ускорение направлено вниз и равно g по модулю.

Ошибка — механически ставить перед g знак плюс или минус. Знак проекции определяется не видом движения, а направлением положительной оси. Нарисуйте ось и стрелку ускорения: совпали направления — знак плюс, противоположны — знак минус.

Ошибка — смешивать путь и координату. Путь показывает длину пройденной траектории и не бывает отрицательным, а координата зависит от начала и направления отсчёта. Для проверки спросите себя, описываете ли вы расстояние или положение относительно выбранной точки.

Ошибка — считать, что более тяжёлое тело в вакууме падает быстрее. Масса увеличивает силу тяжести, но одновременно входит в знаменатель формулы a = F/m и сокращается. Если сопротивлением воздуха пренебрегают, ускорение обоих тел одинаково.

Связь с другими темами

Для решения задач на свободное падение нужны второй закон Ньютона, понятие силы тяжести и формулы равноускоренного прямолинейного движения. Свободное падение показывает, как общие законы механики применяются к вертикальному движению.

Эта модель является основой для изучения вертикального броска, движения с сопротивлением воздуха и задач о движении тел в поле тяжести. Если сопротивление становится заметным, ускорение уже не обязано оставаться постоянным, поэтому прежние формулы требуют уточнения.

Что запомнить

• При свободном падении на тело действует только сила тяжести.
• Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения направлено вниз и по модулю примерно равно 9,8 м/с².
• Ускорение свободного падения не зависит от массы тела, если сопротивлением воздуха можно пренебречь.
• Скорость и координату находят по формулам равноускоренного движения.
• В верхней точке вертикального броска скорость равна нулю, но ускорение направлено вниз.
• Знаки проекций скорости и ускорения зависят от выбранного направления оси.