3. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Определения и обозначения

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, — это движение тела, которому при броске сообщают скорость, направленную под углом к горизонтали. На тело одновременно влияет начальное движение и сила тяжести. Такое описание позволяет разбирать полёт на два простых движения — горизонтальное и вертикальное.

Начальная скорость — вектор скорости тела в момент броска, который обозначают v₀. Его направление задаёт, куда тело начинает двигаться, а величина показывает, насколько быстро оно движется в этот момент. Для расчётов скорость раскладывают на составляющие вдоль выбранных осей.

Угол броска к горизонту — угол α между вектором начальной скорости и горизонтальным направлением. Чем этот угол больше, тем большую часть начальной скорости составляет вертикальная проекция. Угол нужен, чтобы определить проекции скорости с помощью синуса и косинуса.

Траектория полёта — линия, по которой движется тело. При отсутствии сопротивления воздуха траектория тела, брошенного под углом, является параболой. Её форма возникает из сочетания равномерного движения по горизонтали и равноускоренного движения по вертикали.

Как это устроено

Сначала выбирают начало координат в точке броска, ось x направляют горизонтально, а ось y — вертикально вверх. Тогда положение тела можно задавать двумя координатами: насколько далеко оно улетело по горизонтали и на какой высоте находится. Начальную скорость раскладывают на проекции: v₀ₓ = v₀ cos α и v₀ᵧ = v₀ sin α, потому что эти проекции являются сторонами прямоугольного треугольника с гипотенузой v₀.

Движения по двум осям рассматривают отдельно, поскольку сила тяжести направлена вертикально и не сообщает телу горизонтального ускорения. Поэтому по горизонтали тело движется равномерно, а по вертикали — равноускоренно с ускорением g, направленным вниз. Это не означает, что тело совершает два разных полёта: в каждый момент его положение по обеим осям соответствует одному и тому же времени t.

По горизонтали координата меняется по закону равномерного движения: x = v₀ cos α · t. По вертикали тело сначала поднимается, затем опускается, поэтому координату описывает формула y = v₀ sin α · t − gt²/2. Первый член учитывает начальное движение вверх, а второй — снижение из-за ускорения свободного падения.

В самой высокой точке вертикальная скорость становится равной нулю: vᵧ = v₀ sin α − gt = 0. Из этого условия время подъёма равно tпод = v₀ sin α/g. Подставляя это время в закон вертикального движения, получают максимальную высоту H = v₀² sin² α/(2g); после верхней точки вертикальная скорость направлена вниз.

Если тело приземляется на высоте броска, его вертикальное перемещение за полёт равно нулю. Из уравнения y = 0, кроме начального момента, следует полное время полёта t = 2v₀ sin α/g, а дальность равна L = v₀ cos α · t = v₀² sin 2α/g. При одинаковой начальной скорости и равных высотах броска и приземления дальность максимальна при α = 45°.

Составляющие движения тела, брошенного под углом к горизонту

Пользуйтесь таблицей, чтобы не смешивать проекции скорости и ускорения: для каждой оси берите только её данные. В формулах координат время t общее, поэтому найденный момент для движения по одной оси можно подставить в расчёт по другой. Вертикальное направление вверх принято положительным, поэтому ускорение записано как −g.

Разбор задач

Задача 1. Тело бросили со скоростью 10 м/с под углом 30° к горизонту. Найдите начальные проекции скорости по горизонтали и вертикали. Требуется разделить заданную скорость на составляющие по двум осям, не изменяя её величину.

1. Записываем формулы проекций: v₀ₓ = v₀ cos α, v₀ᵧ = v₀ sin α. Это следует из прямоугольного треугольника, образованного вектором скорости и его проекциями.
2. Подставляем v₀ = 10 м/с и α = 30°: cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2. Получаем v₀ₓ = 10 · √3/2 ≈ 8,7 м/с и v₀ᵧ = 10 · 1/2 = 5 м/с.

Ответ: горизонтальная проекция равна примерно 8,7 м/с, вертикальная — 5 м/с. Обе проекции положительны, потому что тело первоначально движется вперёд и вверх.

Задача 2. Мяч бросили со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту. Определите время подъёма до наивысшей точки и максимальную высоту. Считайте g = 10 м/с² и сопротивление воздуха пренебрежимо малым.

1. На вершине траектории вертикальная скорость равна нулю, но до этой точки она изменяется по закону vᵧ = v₀ sin α − gt. Поэтому сначала находим вертикальную проекцию: v₀ᵧ = 20 · sin 30° = 10 м/с.
2. Приравниваем скорость к нулю: 0 = 10 − 10t, откуда tпод = 1 с. Это время нужно отсчитывать от момента броска до достижения максимальной высоты.
3. Для высоты используем y = v₀ᵧt − gt²/2. Подстановка даёт H = 10 · 1 − 10 · 1²/2 = 5 м.

Ответ: мяч поднимается 1 с, максимальная высота равна 5 м. Найденная высота отсчитывается от точки броска.

Задача 3. Тело бросили со скоростью 25 м/с под углом 45° с уровня земли. Найдите время полёта и дальность, считая сопротивление воздуха пренебрежимо малым. Примите g = 10 м/с², а уровень приземления — таким же, как уровень броска.

1. Вертикальная проекция скорости равна v₀ᵧ = 25 · sin 45° = 25√2/2 м/с. Поскольку тело возвращается на исходную высоту, время полёта вдвое больше времени подъёма: t = 2v₀ᵧ/g.
2. Подставляем значения: t = 2 · 25√2/2 ÷ 10 = 2,5√2 ≈ 3,54 с. Равенство высот важно: только при нулевом итоговом вертикальном перемещении применима эта формула.
3. Горизонтальная проекция также равна 25√2/2 м/с. Умножаем её на время: L = v₀ₓt ≈ 17,68 · 3,54 ≈ 62,5 м.

Ответ: время полёта примерно 3,54 с, дальность — примерно 62,5 м. Сначала время находят по вертикальному движению, а затем используют горизонтальную скорость.

Типичные ошибки

Считать, что ускорение тела в полёте равно нулю, — ошибка: нулевым является только горизонтальное ускорение. Его допускают, когда путают равномерное движение по одной оси с движением всего тела. Проверьте направление силы тяжести: вертикальное ускорение всегда равно g и направлено вниз.

Подставлять v₀ вместо проекции скорости нельзя, потому что начальная скорость направлена наклонно. Так ошибаются, когда не учитывают угол броска; по горизонтали нужна v₀ cos α, а по вертикали — v₀ sin α. Проверка проста: при α = 30° эти проекции различаются, и их нельзя считать равными полной скорости.

В наивысшей точке равна нулю не вся скорость, а только её вертикальная составляющая. Ошибка возникает из-за того, что тело на мгновение перестаёт подниматься и кажется неподвижным. Убедитесь, что горизонтальная проекция осталась v₀ cos α: без горизонтального ускорения она сохраняется.

Формулу t = 2v₀ sin α/g нельзя применять, если тело приземляется на другой высоте. Её легко запомнить без условия, но она получена именно для возвращения на уровень броска. Проверяйте конечную высоту: если она отличается, время нужно находить из общего уравнения y = v₀ sin α · t − gt²/2.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны умение раскладывать вектор на проекции, знания о равномерном и равноускоренном движении и представление о том, как ускорение свободного падения меняет вертикальную скорость. Эти темы объясняют, откуда берутся формулы для каждой координаты. Разложение движения на независимые составляющие пригодится при изучении движения по криволинейной траектории и при расчётах броска с высоты. В таких задачах изменяется условие о конечной высоте, но принцип рассмотрения по осям остаётся тем же.

Что запомнить

• При отсутствии сопротивления воздуха ускорение направлено вертикально вниз и равно g.
• Горизонтальная составляющая скорости при полёте не меняется.
• Вертикальная составляющая скорости изменяется под действием ускорения свободного падения.
• Движения по горизонтали и вертикали рассматривают независимо, связывая их общим временем полёта.
• В наивысшей точке вертикальная скорость равна нулю, но горизонтальная обычно не равна нулю.
• При одинаковых высотах броска и приземления дальность максимальна при угле броска 45°.