4. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Определения и обозначения

Движение тела, брошенного под углом к горизонту — движение с начальной скоростью, направленной под углом к горизонтали, при ускорении свободного падения. В расчётах обычно пренебрегают сопротивлением воздуха и считают, что g постоянно. Это позволяет описать полёт двумя простыми уравнениями вместо сложного движения по кривой.

Начальная скорость v₀ — скорость тела в момент броска, а α — угол между ней и горизонтом. Составляющие скорости равны v₀x = v₀ cos α и v₀y = v₀ sin α. Первая задаёт движение вперёд, вторая — начальное движение вверх.

Траектория движения — линия, по которой перемещается тело. При отсутствии сопротивления воздуха траектория брошенного под углом тела имеет форму параболы. По ней можно определить положение тела при разных значениях горизонтальной координаты.

Дальность полёта — горизонтальное расстояние от точки броска до точки падения, а максимальная высота подъёма — наибольшее расстояние по вертикали от точки броска до верхней точки траектории. Эти величины зависят от v₀, α и ускорения свободного падения. При вычислении нужно учитывать, на какой высоте тело приземляется.

Как это устроено

Чтобы описать полёт, выбирают горизонтальную ось x и вертикальную ось y. Силой тяжести тело ускоряется только по вертикали, если сопротивлением воздуха пренебречь. Значит, по горизонтали ускорение равно нулю, а по вертикали равно −g, если вверх принято положительным направлением. Поэтому две составляющие движения можно рассчитывать независимо, а затем соединять координаты тела.

В момент броска скорость направлена под углом α, поэтому её удобно представить как сумму двух перпендикулярных составляющих. Из прямоугольного треугольника скоростей следуют формулы v₀x = v₀ cos α и v₀y = v₀ sin α. Горизонтальная составляющая не меняется, поскольку горизонтальной силы нет и, следовательно, нет горизонтального ускорения. Вертикальная составляющая меняется под действием тяжести.

По горизонтали тело проходит x = v₀ cos α · t, а по вертикали его координата равна y = v₀ sin α · t − gt²/2. Из первого уравнения получаем t = x/(v₀ cos α), если cos α не равен нулю, и подставляем это выражение во второе. В результате y = x tg α − gx²/(2v₀² cos² α). Это квадратичная зависимость y от x, поэтому график движения является параболой.

Вертикальная скорость определяется выражением vᵧ = v₀ sin α − gt. Во время подъёма тяжесть направлена против движения, поэтому скорость вверх постепенно уменьшается. В верхней точке vᵧ = 0; после неё скорость направлена вниз и по модулю растёт. При этом горизонтальная скорость vₓ = v₀ cos α сохраняется, поэтому полная скорость в верхней точке не становится нулевой.

Если тело падает на уровень броска, в конечный момент его вертикальная координата снова равна нулю. Из уравнения y = 0, кроме решения t = 0, получаем время полёта T = 2v₀ sin α/g. Подстановка T в уравнение x даёт дальность L = v₀² sin 2α/g, а из условия vᵧ = 0 следует высота H = v₀² sin² α/(2g). Эти формулы применимы именно при одинаковой высоте старта и приземления; дальность в таком случае максимальна при угле 45°.

Характеристики движения тела, брошенного под углом к горизонту

Таблица помогает сопоставить движение по двум осям: направление координаты само по себе не меняет того, что тело движется по одной общей траектории. Сначала определите нужную ось, затем выберите соответствующие начальную скорость и закон движения. Для точки полёта, заданной временем, используйте уравнения координат и скорости.

Разбор задач

Задача 1. Камень брошен со скоростью v₀ под углом α к горизонту. Запишем уравнения движения и найдём координаты через заданное время t. Числовые значения скорости и угла не заданы, поэтому ответ оставим в общем виде. Начало координат совместим с точкой броска.

1. Выберем оси: x направим горизонтально, y — вертикально вверх. Разложим скорость на составляющие: v₀x = v₀ cos α, v₀y = v₀ sin α. Так мы получим отдельную начальную скорость для каждого направления.

2. По горизонтали ускорения нет, поэтому x(t) = v₀ cos α · t. По вертикали действует ускорение −g, поэтому y(t) = v₀ sin α · t − gt²/2. Эти выражения задают координаты в любой момент полёта.

3. Чтобы найти положение через заданное время, подставим это время вместо t в обе формулы. Горизонтальная координата будет x = v₀ cos α · t, вертикальная — y = v₀ sin α · t − gt²/2. Если требуется расстояние до начала координат, его можно найти по теореме Пифагора: r = √(x² + y²).

Ответ: x(t) = v₀ cos α · t; y(t) = v₀ sin α · t − gt²/2. Для заданного t эти формулы дают координаты камня.

Задача 2. Мяч бросили с уровня земли со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту. Найдём время полёта, дальность и максимальную высоту, приняв g = 9,8 м/с². Мяч приземляется на ту же высоту, с которой стартовал, поэтому можно воспользоваться формулами для равных уровней.

1. Разложим начальную скорость: v₀y = 20 sin 30° = 10 м/с, v₀x = 20 cos 30° ≈ 17,3 м/с. По вертикали мяч возвращается на исходный уровень через T = 2v₀y/g. Получаем T = 20/9,8 ≈ 2,04 с.

2. Дальность равна горизонтальной скорости, умноженной на время полёта: L = v₀xT. Подставляя значения, находим L ≈ 17,3 · 2,04 ≈ 35,3 м. Это расстояние по горизонтали, а не длина дуги траектории.

3. В верхней точке вертикальная скорость становится нулевой. Время подъёма равно половине времени полёта, поэтому высота H = v₀y²/(2g) = 100/19,6 ≈ 5,10 м. Проверка: единицы высоты получаются в метрах.

Ответ: время полёта — примерно 2,04 с, дальность — 35,3 м, максимальная высота — 5,10 м.

Задача 3. Снаряд должен попасть в цель на горизонтальном расстоянии X и высоте Y от точки броска. Нужно выяснить, какие углы α подходят при заданной скорости v₀, или какую скорость выбрать при заданном угле. Удобно исключить время полёта из уравнений и проверить, проходит ли траектория через координаты цели.

1. В уравнении движения по горизонтали положим x = X и выразим время: t = X/(v₀ cos α). Это возможно, когда cos α не равен нулю. Найденное время подставим в уравнение вертикальной координаты.

2. Для попадания в цель должно выполняться Y = X tg α − gX²/(2v₀² cos² α). При известных v₀, X и Y это уравнение решают относительно α; иногда оно даёт два допустимых угла. Если угол известен, уравнение решают относительно v₀.

3. Полученные значения проверяют подстановкой в исходные уравнения и убеждаются, что время положительно. Дополнительно нужно учесть условия задачи: например, не должна ли траектория пересекать препятствие до цели. Без чисел X, Y и v₀ найти конкретное значение угла или скорости нельзя.

Ответ: возможные углы или скорость определяются уравнением траектории Y = X tg α − gX²/(2v₀² cos² α); для численного ответа нужны данные о цели и броске.

Типичные ошибки

Подстановка полной скорости v₀ вместо её составляющих в уравнения по осям приводит к неверным координатам. Так ошибаются, забывая, что скорость направлена под углом и по каждой оси действует только её часть. Проверьте себя: при α = 0 вертикальная начальная составляющая должна быть нулевой, а при α = 90° — горизонтальная.

Считать вертикальную скорость постоянной нельзя: на неё действует ускорение свободного падения. Ошибка возникает, когда формулу равномерного движения применяют сразу к обоим направлениям. Проверка проста: в выражении vᵧ = v₀ sin α − gt скорость должна уменьшаться при подъёме, а после верхней точки менять знак.

Утверждение, что в верхней точке вся скорость равна нулю, смешивает вертикальную и горизонтальную составляющие. Вертикальная скорость там действительно на мгновение равна нулю, но горизонтальная продолжает действовать. Проверьте себя по vₓ = v₀ cos α: при ненулевом cos α эта составляющая сохраняется и в верхней точке.

Формулы времени полёта T = 2v₀ sin α/g и дальности L = v₀² sin 2α/g нельзя без изменений использовать при приземлении на другой высоте. Их вывод основан на условии, что начальная и конечная координаты y одинаковы. Перед подстановкой проверьте высоты; если они различаются, найдите время из уравнения y(t), приравняв его высоте приземления.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны знания о разложении вектора на координатные составляющие, равноускоренном движении и движении под действием силы тяжести. Особенно важно выбрать направления осей и согласовать с ними знаки скорости и ускорения. Тогда формулы для каждой координаты складываются в понятную модель полёта.

Эта модель служит первым приближением для баллистики и задач на попадание в цель. Позже можно учитывать сопротивление воздуха, при котором горизонтальная скорость уже не постоянна, а траектория обычно перестаёт быть параболой. Похожие расчёты помогают разбирать движение спутников, хотя там сила тяжести меняет направление и сама траектория может быть замкнутой.

Что запомнить

• Движение по горизонтали равномерное, а по вертикали равноускоренное.
• Начальные составляющие скорости равны v₀ cos α и v₀ sin α.
• Ускорение свободного падения направлено вертикально вниз.
• Без сопротивления воздуха траектория тела является параболой.
• В верхней точке вертикальная скорость равна нулю, но горизонтальная сохраняется.
• При броске и приземлении на одном уровне дальность максимальна при угле 45°.
• Для одного и того же расстояния обычно возможны два угла броска: малый и большой.