"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Движение брошенного тела зависит от того, относительно чего его наблюдают: пассажир вагона и человек на земле могут описать разные траектории одного мяча. Чтобы связать такие описания, складывают векторы скорости тела и системы отсчёта. При ударе о гладкую наклонную плоскость скорость тоже удобно разложить на части: вдоль поверхности и перпендикулярно ей. Это позволяет определить направление отскока и понять, какая часть скорости меняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Относительное движение — движение тела, описываемое относительно выбранного тела отсчёта. Например, мяч в вагоне перемещается относительно вагона и одновременно относительно земли. Выбор наблюдателя важен, потому что положение тела и его траекторию каждый наблюдатель отсчитывает относительно своей системы.
Скорость тела относительно системы отсчёта — вектор, показывающий, как быстро и в каком направлении меняется положение тела в этой системе. Обозначим скорость относительно земли как vзем, скорость движущейся системы относительно земли как vсист, а скорость тела относительно системы как vотн. Такое обозначение помогает не перепутать, относительно чего измерена каждая скорость.
Закон сложения скоростей связывает скорости тела в разных системах: vзем = vсист + vотн. Складывать нужно именно векторы, то есть учитывать и величину, и направление скоростей. Закон нужен, чтобы перевести описание движения из системы, связанной с платформой или вагоном, в описание земного наблюдателя.
Отскок от наклонной плоскости — изменение скорости тела при ударе о поверхность. У гладкой плоскости скорость удобно представить как сумму составляющих вдоль поверхности и перпендикулярно ей. При идеально упругом ударе о неподвижную плоскость первая сохраняется, а вторая меняет направление на противоположное.
Сначала выбирают систему отсчёта: например, связывают её с землёй или с движущейся платформой. Затем задают оси координат, обычно горизонтальную и вертикальную, и описывают положение тела по каждой оси. Координаты получаются разными, потому что системы отсчёта перемещаются друг относительно друга. Поэтому траектория — линия, соединяющая положения тела, — тоже может выглядеть по-разному для разных наблюдателей.
Движение брошенного тела без сопротивления воздуха удобно разделить на горизонтальное и вертикальное. По горизонтали на тело не действует сила, поэтому его скорость в этом направлении не меняется. По вертикали действует сила тяжести, из-за чего скорость направлена всё сильнее вниз; при броске вверх она сначала уменьшается, а после верхней точки меняет направление. Независимое рассмотрение двух осей позволяет описать всё движение, не смешивая разные причины изменения скорости.
Чтобы получить закон сложения скоростей, представим положение тела как сумму положения движущейся системы и положения тела внутри неё. За одинаковый промежуток времени оба смещения складываются, а значит, складываются и скорости: vзем = vсист + vотн. Для мяча, брошенного с платформы, скорость платформы нужно прибавить к скорости мяча относительно платформы как вектор. Если они направлены в разные стороны, одна скорость частично компенсирует другую, поэтому простое сложение модулей неверно.
При ударе о наклонную плоскость выбирают два направления: касательное — вдоль поверхности, и нормальное — перпендикулярно ей. Разложение скорости на эти составляющие показывает, какая часть движения направлена вдоль плоскости, а какая ведёт тело к поверхности или от неё. Для гладкой плоскости нет силы трения вдоль поверхности, поэтому при идеальном упругом ударе касательная составляющая сохраняется. Удар меняет нормальную составляющую на противоположную, поскольку тело после контакта движется от плоскости.
Если удар идеально упругий, модуль нормальной составляющей до удара равен её модулю после удара, а касательная составляющая не меняется. Значит, полный модуль скорости тоже сохраняется, хотя её направление становится другим. Геометрически это означает симметрию направлений до и после удара относительно нормали к плоскости. Поэтому угол падения равен углу отражения, когда оба угла отсчитывают именно от нормали, а не от поверхности.
В таблице собраны два приёма: перевод скорости из движущейся системы отсчёта и разложение скорости при ударе о плоскость. Сначала определите, какие направления сравниваются, затем проследите за каждой составляющей отдельно. Это помогает понять, изменится ли только направление скорости или также её модуль.
| Ситуация | Как представить скорость | Что происходит с составляющими | Вывод для движения |
|---|---|---|---|
| Тело движется относительно движущейся системы | Скорость относительно земли — векторная сумма скорости системы и относительной скорости тела | Составляющие складываются по соответствующим осям | Траектория зависит от выбранной системы отсчёта |
| Тело отскакивает от гладкой наклонной плоскости | Скорость раскладывается на составляющие вдоль плоскости и по нормали к ней | Вдоль плоскости составляющая сохраняется, нормальная меняет знак | Модуль скорости сохраняется, направление меняется |
Задача 1. Пассажир бросает мяч горизонтально вперёд со скоростью 4 м/с относительно равномерно движущегося вагона. Скорость вагона относительно земли — 10 м/с. Найдём скорость мяча относительно земли. Здесь обе скорости направлены одинаково, поэтому сначала складываем их векторно, а затем сравниваем результат с направлением движения вагона.
Ответ: 14 м/с относительно земли вперёд. Если бы пассажир бросил мяч назад, складывать пришлось бы векторы с противоположными направлениями. Тогда земная скорость могла бы оказаться меньше скорости вагона.
Задача 2. С горизонтально движущейся платформы бросают тело вертикально вверх; сопротивлением воздуха пренебрегаем. Относительно платформы горизонтальной скорости у тела нет, поэтому оно поднимается и опускается по вертикальной линии. Для земного наблюдателя тело сохраняет горизонтальную скорость платформы, а по вертикали движется под действием тяжести. Сочетание постоянного горизонтального движения и вертикального движения с ускорением даёт параболическую траекторию.
Ответ: относительно платформы траектория вертикальная, относительно земли — парабола. Это различие возникает не из-за изменения самого движения тела, а из-за разных систем отсчёта.
Задача 3. Тело со скоростью 8 м/с ударяется о гладкую наклонную плоскость под углом 30° к перпендикуляру к ней. Нужно найти составляющие и направление скорости после идеально упругого удара. Поскольку угол задан от нормали, нормальная составляющая находится через косинус, а касательная — через синус.
Ответ: после удара нормальная составляющая по модулю равна 6,9 м/с и направлена от плоскости, касательная равна 4 м/с; угол отражения — 30°.
Первая ошибка — складывать модули скоростей, не учитывая их направления. Её допускают, когда воспринимают скорости как обычные числа; при встречном движении результат может оказаться даже меньше каждого модуля. Проверьте направления на рисунке или выберите ось и поставьте скорости с нужными знаками.
Вторая ошибка — считать траекторию одинаковой для всех наблюдателей. Так происходит, если забыть, что координаты отсчитываются относительно системы отсчёта. Проверьте себя, мысленно проследив за телом вместе с платформой и с земли: горизонтальное смещение платформы заметит только второй наблюдатель.
Третья ошибка — при отскоке менять направление обеих составляющих скорости. Её причина — представление об ударе как о полном развороте движения, но гладкая плоскость не изменяет касательную составляющую в идеальной модели. Разложите скорость по двум направлениям и измените знак только у нормальной части.
Четвёртая ошибка — отсчитывать угол падения от самой плоскости. Часто так делают, потому что поверхность кажется главным ориентиром, но в правиле равенства углов используется нормаль. Нарисуйте перпендикуляр к плоскости и сравнивайте с ним направления падающей и отражённой скоростей.
Для темы нужны векторы и умение раскладывать их на составляющие: эти навыки позволяют складывать скорости и разбирать отскок по направлениям. Также пригодится описание равноускоренного движения, в частности движения под действием силы тяжести. Понятие системы отсчёта связывает задачу с общими законами механики и помогает сравнивать измерения разных наблюдателей. Эти приёмы используют в задачах о движении тел, а разбор удара подготавливает к изучению ударов и законов сохранения.
Почему траектория одного и того же тела выглядит по-разному для пассажира и для наблюдателя на земле?
Пассажир движется вместе с вагоном, а наблюдатель на земле — нет, поэтому они по-разному отсчитывают положение тела. Для пассажира мяч, брошенный вертикально вверх, движется по вертикальной линии, а для наблюдателя на земле он одновременно перемещается вперёд и описывает параболу.
Как найти скорость брошенного тела относительно земли?
Нужно сложить как векторы скорость системы отсчёта относительно земли и скорость тела относительно этой системы. Если направления совпадают, модули складываются; если направления различаются, учитывают обе составляющие.
Какая составляющая скорости меняется при отскоке от гладкой плоскости?
При идеально упругом ударе о неподвижную гладкую плоскость меняет знак составляющая скорости, перпендикулярная поверхности. Составляющая вдоль плоскости сохраняется.
От чего отсчитывают угол падения при ударе о наклонную плоскость?
Угол падения отсчитывают от нормали — перпендикуляра к плоскости в точке удара. При идеальном упругом ударе угол отражения, отсчитанный от той же нормали, равен углу падения.
Всегда ли после отскока модуль скорости остаётся прежним?
Нет. Он сохраняется в идеальной модели упругого удара о неподвижную гладкую плоскость, когда нормальная составляющая только меняет знак. При неупругом ударе часть механической энергии переходит в другие виды, поэтому скорость после удара обычно меньше.
§ 12. Относительное движение брошенных тел. Отскок от наклонной плоскости
