§ 12. Относительное движение брошенных тел. Отскок от наклонной плоскости

Определения и обозначения

Относительное движение — движение тела, описываемое относительно выбранной системы отсчёта. Например, пассажир вагона и человек на перроне могут по-разному описать путь одного мяча. Это понятие нужно, чтобы точно указывать, с чьей точки зрения заданы скорость и траектория.

Относительная скорость — скорость тела в одной системе отсчёта относительно другой; её находят векторной разностью скоростей. Если система движется относительно Земли со скоростью vсз, то vтс = vтз − vсз. Это правило помогает перейти от измерений наблюдателя на Земле к измерениям движущегося наблюдателя.

Относительное ускорение — ускорение тела, измеренное в движущейся системе отсчёта. Если системы движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, ускорение тела в них одинаково. Поэтому переход к вагону меняет скорость свободно падающего тела, но не его ускорение g.

Отскок от наклонной плоскости — изменение скорости тела при ударе о плоскость, когда скорость рассматривают как сумму касательной и нормальной составляющих. Первая направлена вдоль поверхности, вторая — перпендикулярно ей. Такое разложение нужно, потому что плоскость по-разному влияет на движение вдоль себя и на движение к ней или от неё.

Как это устроено

Описание движения зависит от системы отсчёта, потому что наблюдатели могут двигаться друг относительно друга. Один и тот же мяч пассажир вагона видит рядом с собой, а человек на Земле — перемещающимся вместе с вагоном. При этом не меняется само событие: меняются координаты и скорость, которыми наблюдатель его описывает. Поэтому в задаче сначала выбирают систему отсчёта, удобную для искомой величины.

Скорости складываются как векторы, поскольку у каждой есть направление. Если тело движется вперёд относительно платформы, а платформа — вперёд относительно Земли, скорости направлены одинаково и складываются; если в противоположные стороны — одна из проекций отрицательна. В общем виде vтз = vтс + vсз. Переставив слагаемые, получаем относительную скорость: vтс = vтз − vсз.

При равномерном поступательном движении системы отсчёта её скорость постоянна, поэтому переход между системами добавляет к скорости тела постоянный вектор. Постоянная добавка не меняет скорость тела за единицу времени, то есть его ускорение остаётся прежним. В частности, ускорение свободного падения в вагоне равно g и направлено вниз, как и относительно Земли. Это рассуждение не относится без оговорок к ускоренно движущимся или вращающимся системам.

Чтобы найти траекторию, движение брошенного тела раскладывают на горизонтальное и вертикальное. Без сопротивления воздуха горизонтальная составляющая скорости постоянна, а вертикальное движение происходит с ускорением g. Если тело брошено с движущейся платформы, к горизонтальной составляющей скорости броска относительно платформы прибавляют скорость платформы. Затем для каждой системы отсчёта отдельно записывают координаты и исключают время — так получают вид траектории.

При ударе о плоскость существенны не горизонталь и вертикаль, а направления относительно поверхности. Касательная составляющая описывает скольжение вдоль плоскости; в модели без трения импульс удара не меняет её. Нормальная составляющая направлена к поверхности до удара и от неё после, поэтому меняет знак. При коэффициенте восстановления e её модуль после удара равен e умножить на модуль до удара: при e = 1 удар упругий, при e < 1 часть энергии теряется.

Движение брошенного тела и его отскок в разных условиях

Сначала выберите строку, соответствующую условию, и уточните систему отсчёта. Затем отдельно проверьте, какие проекции скорости сохраняются, а какие меняются. Для отскока не забудьте определить оси относительно поверхности, а не автоматически относительно горизонта.

Разбор задач

Тело бросили вертикально из равномерно движущегося вагона

Пусть скорость вагона равна u, а тело бросили вверх со скоростью v₀ относительно вагона. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, вагон движется прямолинейно и равномерно. Нужно сравнить скорость и траекторию тела для пассажира и наблюдателя на Земле.

1. Выберем сначала систему вагона. В момент броска горизонтальная скорость тела относительно вагона равна нулю, вертикальная — v₀. Затем тело движется только вертикально с ускорением g вниз, поэтому его траектория для пассажира — прямая вертикальная линия.
2. Перейдём к Земле. По правилу сложения скоростей начальная скорость тела равна сумме скорости броска относительно вагона и скорости вагона: v₀з = (u, v₀). Горизонтальная составляющая u далее постоянна, а вертикальная меняется под действием g.
3. Запишем координаты относительно точки броска: x = ut, y = v₀t − gt²/2. Исключая время, получаем y = (v₀/u)x − gx²/(2u²), если u ≠ 0. Это уравнение параболы; при u = 0 наблюдатель на Земле тоже видит вертикальный бросок.

Ответ: относительно вагона тело движется вертикально со скоростью, первоначально равной v₀ вверх; относительно Земли его начальная скорость имеет горизонтальную составляющую u и вертикальную v₀, а траектория при u ≠ 0 — парабола.

Бросок под углом с движущейся платформы

Пусть платформа движется горизонтально со скоростью u, а тело бросают относительно неё со скоростью v₀ под углом α к горизонту. Высота точки броска над уровнем приземления равна h; сопротивлением воздуха пренебрегаем. Требуется связать дальность относительно платформы и Земли, не подменяя одну систему отсчёта другой.

1. Разложим скорость броска относительно платформы: v₀x = v₀ cos α, v₀y = v₀ sin α. В системе платформы время полёта найдём из вертикального движения: h + v₀ sin α · t − gt²/2 = 0. Берём положительный корень: t = (v₀ sin α + √(v₀² sin² α + 2gh))/g.
2. Горизонтальная скорость относительно платформы постоянна, поэтому дальность относительно неё равна Lп = v₀ cos α · t. Это расстояние отсчитывается от точки на платформе, находившейся под местом броска, а не от земной отметки. Время полёта одинаково для обеих систем, поскольку их вертикальные координаты отличаются только горизонтальным переносом.
3. Для Земли начальная горизонтальная скорость равна v₀ cos α + u, а вертикальная остаётся v₀ sin α. Поэтому Lз = (v₀ cos α + u)t = Lп + ut. Добавка ut — горизонтальное перемещение платформы за время полёта.

Ответ: сначала находят время t по вертикальному движению, затем Lп = v₀ cos α · t, а дальность относительно Земли равна Lз = Lп + ut. Если платформа движется в противоположную сторону, u берут со знаком минус.

Отскок от наклонной плоскости

Пусть тело летит к плоскости со скоростью v, а угол между вектором скорости и плоскостью равен β. Коэффициент восстановления обозначим e: он показывает, какая доля нормальной скорости сохраняется после удара. Считаем удар без трения, поэтому касательная составляющая не меняется.

1. Выберем ось t вдоль плоскости, а ось n — перпендикулярно ей и направим наружу. Разложим скорость до удара: vₜ = v cos β, а модуль нормальной составляющей равен |vₙ| = v sin β. Поскольку тело приближается к плоскости, проекция vₙ на выбранную наружу ось отрицательна.
2. При ударе касательная проекция сохраняется: v′ₜ = vₜ. Нормальная проекция меняет направление и становится v′ₙ = −e vₙ, поэтому после удара она направлена наружу. При e = 1 модуль нормальной скорости прежний, а при 0 ≤ e < 1 тело отскакивает с меньшей нормальной скоростью.
3. Найдём скорость после удара по проекциям: v′ = √(v′ₜ² + v′ₙ²) = v√(cos² β + e² sin² β). Угол γ между направлением отскока и плоскостью удовлетворяет tg γ = |v′ₙ|/|v′ₜ| = e tg β, если v′ₜ ≠ 0. Значит, угол отскока равен углу падения только при e = 1.

Ответ: v′ₜ = v cos β, |v′ₙ| = e v sin β, нормальная составляющая направлена от плоскости. Скорость после удара равна v√(cos² β + e² sin² β), а её направление определяется отношением нормальной и касательной проекций.

Типичные ошибки

Складывать модули скоростей вместо векторов — значит игнорировать направления движения. Так ошибаются, когда считают, что любое движение платформы просто увеличивает скорость тела. Проверка: нарисуйте стрелки скоростей и задайте ось; проекции, направленные против выбранной оси, должны иметь отрицательный знак.

При переходе в равномерно движущуюся систему иногда считают, что меняется g. Причина — смешение скорости системы со скоростью изменения скорости тела. Проверьте рассуждение: если скорость системы постоянна, к скорости тела прибавляется постоянный вектор, а ускорение остаётся прежним.

Для наклонной поверхности часто раскладывают скорость по горизонтали и вертикали. Эти оси не совпадают с направлениями, важными для удара, поэтому правило о сохранении составляющей вдоль плоскости становится незаметным. Проверьте себя: одна ось должна идти вдоль поверхности, другая — перпендикулярно ей.

Нельзя автоматически считать угол отскока равным углу падения. Такое равенство относится к упругому удару и углам, измеренным от нормали; в других условиях нормальная скорость может уменьшиться. Проверка: сначала укажите коэффициент восстановления и ось, от которой отсчитываете угол, а затем сравните касательную и нормальную проекции.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны системы отсчёта, сложение векторов, равноускоренное движение и формулы для тела, брошенного под углом к горизонту. Переход между равномерно движущимися системами связан с преобразованиями Галилея и понятием относительной скорости. Разделение движения на независимые направления помогает анализировать и полёт, и удар.

Эти методы применяются при движении тел на платформах и при столкновениях, а также в спортивных бросках и движении мяча по наклонной поверхности. Выбор подходящей системы отсчёта упрощает расчёт дальности и траектории. Разложение скорости относительно плоскости помогает предсказать направление и скорость отскока.

Что запомнить

• Движение тела описывается относительно выбранной системы отсчёта.
• Относительная скорость равна векторной разности скоростей тела и системы отсчёта.
• В равномерно движущихся системах отсчёта ускорение тела одинаково.
• Траектория одного и того же тела может иметь разный вид для разных наблюдателей.
• При ударе о плоскость скорость удобно разлагать на касательную и нормальную составляющие.
• При отскоке направление нормальной составляющей меняется на противоположное.
• Равенство углов падения и отражения требует упругого отскока; углы отсчитывают относительно нормали.