"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Тело, брошенное горизонтально или под углом к горизонту, движется одновременно по двум направлениям: горизонтально и вертикально. По горизонтали оно сохраняет равномерное движение, а по вертикали падает под действием силы тяжести. Такое разложение позволяет находить траекторию, время полёта, дальность и максимальную высоту без сложного анализа всего движения сразу. Модель применяют для описания полёта мяча, снаряда и других тел, если сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Горизонтальный бросок — движение тела, которому начальная скорость сообщена горизонтально с некоторой высоты. В начальный момент скорость направлена вдоль горизонтали, а ускорение — вертикально вниз и равно g. Такое описание удобно, когда предмет съезжает с края стола или вылетает из отверстия в стене.
Бросок под углом к горизонту — движение тела с начальной скоростью v₀, направленной под углом α к горизонтали. Угол α отсчитывают от положительного направления горизонтальной оси до вектора начальной скорости. Он показывает, какую часть начального движения тело получает вверх, а какую — вперёд.
Дальность полёта — горизонтальное расстояние от точки броска до точки падения. Обычно её обозначают L и измеряют по оси x. Эта величина помогает оценить, насколько далеко от места запуска окажется тело.
Время полёта — промежуток времени от начала движения до момента падения тела на выбранный уровень. Его находят из условия, что вертикальная координата в момент падения совпадает с координатой поверхности. Зная время, можно вычислить горизонтальную дальность.
Если сопротивлением воздуха пренебречь, единственная сила, действующая после броска, — сила тяжести. Она направлена вертикально вниз, поэтому ускорение тела равно ускорению свободного падения g и не зависит от того, куда была направлена начальная скорость. Наклонная начальная скорость не меняет направление ускорения: скорость и ускорение — разные векторы.
Движение удобно разложить на два независимых движения по взаимно перпендикулярным осям. По горизонтали ускорение равно нулю, поэтому тело движется равномерно и проходит расстояние x = v₀x t. По вертикали действует ускорение −g, поэтому координата меняется по закону y = y₀ + v₀y t − gt²/2.
При броске под углом вектор начальной скорости раскладывают на проекции на оси. Горизонтальная составляющая равна v₀x = v₀ cos α, потому что угол задан между вектором и горизонталью, а вертикальная — v₀y = v₀ sin α. При горизонтальном броске α = 0 для направления скорости, поэтому v₀x = v₀, а v₀y = 0.
Чтобы получить траекторию, исключим время из уравнений координат. Из x = v₀x t следует t = x/v₀x; подстановка в вертикальное уравнение даёт y = y₀ + (v₀y/v₀x)x − gx²/(2v₀x²). В этой зависимости есть член с x², поэтому график движения является параболой.
Время полёта находят из вертикального условия падения. Для горизонтального броска с высоты h: 0 = h − gt²/2, откуда t = √(2h/g), а для броска с поверхности: 0 = v₀ sin α · t − gt²/2, поэтому ненулевое решение равно 2v₀ sin α/g. Дальность получают умножением времени на постоянную горизонтальную скорость, а максимальную высоту — из условия, что вертикальная скорость в верхней точке равна нулю.
Для горизонтального броска максимальная высота равна исходной высоте h: тело сразу начинает опускаться. Для броска под углом подъём над точкой запуска равен H = v₀² sin² α/(2g). При одинаковых уровнях броска и падения дальность L = v₀² sin 2α/g, и она максимальна при α = 45°, поскольку синус достигает единицы.
| Величина | Горизонтальный бросок с высоты h | Бросок под углом α с поверхности Земли |
|---|---|---|
| Начальные составляющие скорости | v₀x = v₀, v₀y = 0 | v₀x = v₀ cos α, v₀y = v₀ sin α |
| Уравнение горизонтальной координаты | x = v₀t | x = v₀ cos α · t |
| Уравнение вертикальной координаты | y = h − gt²/2 | y = v₀ sin α · t − gt²/2 |
| Траектория | Парабола, начинающаяся на высоте h | Парабола, начинающаяся на уровне земли |
| Время полёта | t = √(2h/g) | t = 2v₀ sin α/g |
| Дальность полёта | L = v₀√(2h/g) | L = v₀² sin 2α/g |
| Максимальная высота | Наибольшая высота равна h в начальный момент | H = v₀² sin² α/(2g) |
Сначала определите, одинаковы ли уровни начала и конца движения: от этого зависит формула времени и дальности. Затем выберите строку с нужной величиной и проверьте единицы измерения. Для броска под углом не забывайте, что приведённые формулы предполагают падение на исходный уровень.
Мяч бросили со скоростью 10 м/с с высоты 20 м. Нужно найти время падения, дальность и скорость перед ударом. Возьмём g = 10 м/с² и разделим движение на горизонтальное и вертикальное.
Ответ: t = 2 с, L = 20 м, скорость перед ударом — примерно 22,4 м/с. Складывать 10 м/с и 20 м/с напрямую нельзя, поскольку эти скорости направлены перпендикулярно.
Тело брошено со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту. Требуется найти время полёта, дальность и максимальную высоту при g = 10 м/с². Сначала найдём составляющие: v₀x = 20 cos 30° = 10√3 м/с, v₀y = 20 sin 30° = 10 м/с.
Ответ: тело летит 2 с, пролетает примерно 34,6 м, а поднимается на 5 м. Разложение скорости заранее уменьшает риск перепутать формулы для горизонтального и вертикального движения.
Известны максимальная высота H = 20 м и дальность L = 80 м; тело брошено с поверхности, g = 10 м/с². Здесь неизвестны и скорость, и угол, поэтому одной формулы недостаточно. Используем две характеристики одновременно.
Ответ: угол броска 45°, начальная скорость 20√2 м/с, или примерно 28,3 м/с. Сначала удобно определить угол из отношения дальности и высоты, а уже потом находить скорость.
Ускорение направляют вдоль начальной скорости. Так ошибаются, представляя движение как продолжение броска. Проверьте себя: при отсутствии сопротивления ускорение всегда вертикально вниз, независимо от направления скорости.
Используют одну формулу для обеих координат. Причина — желание описать всё одним выражением. Сверьте оси: по x движение равномерное, а по y обязательно должен появиться член −gt²/2.
Меняют местами v₀ sin α и v₀ cos α. Ошибка возникает из-за невнимательного выбора угла. Если α отсчитывается от горизонтали, горизонтальная проекция равна v₀ cos α, а вертикальная — v₀ sin α.
Применяют L = v₀² sin 2α/g при броске с высоты. Формула выведена для одинаковых уровней старта и падения. Проверьте условие задачи: если высоты различаются, сначала найдите время из вертикального движения.
Для решения задач нужны уравнения равномерного и равноускоренного движения, сложение скоростей и разложение вектора на координатные составляющие. Тема продолжает изучение движения под действием силы тяжести и показывает, почему его траектория имеет форму параболы.
Эти знания применяют при анализе спортивных бросков, полёта мяча, движения снарядов и других задач баллистики. Та же модель помогает отдельно оценивать горизонтальное перемещение и вертикальное падение тела.
Почему тело, брошенное горизонтально, сразу начинает падать вниз?
После броска на тело действует сила тяжести, направленная вертикально вниз. Поэтому оно получает вертикальное ускорение g, хотя его начальная скорость направлена горизонтально.
Почему горизонтальная скорость при движении не изменяется?
При пренебрежении сопротивлением воздуха на тело не действуют горизонтальные силы. По первому закону Ньютона горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной.
Как определить угол, под которым нужно бросить тело, чтобы оно попало в заданную точку?
Сначала задают координаты цели и подставляют их в уравнения x(t) и y(t), исключая время. Если точка и место броска находятся на одном уровне, используют L = v₀² sin 2α / g. При разных высотах получают уравнение относительно α и выбирают подходящий корень.
Почему дальность полёта максимальна при угле 45° только при одинаковой высоте броска и падения?
Формула L = v₀² sin 2α / g получена для одинаковых начальной и конечной высот. Тогда sin 2α достигает максимума при 2α = 90°, то есть α = 45°. При разной высоте время полёта зависит от вертикального смещения, поэтому оптимальный угол изменяется.
Можно ли применять формулы движения тела под углом, если учитывать сопротивление воздуха?
В обычном виде нельзя: сопротивление создаёт дополнительное ускорение, направленное против скорости, и меняет обе составляющие движения. Такие задачи решают с использованием более сложных уравнений или приближённых методов.
§ 11. Движение тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту
