"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Тело, брошенное горизонтально или под углом к горизонту, одновременно движется вперёд и падает под действием силы тяжести. Если сопротивлением воздуха пренебречь, эти составляющие можно изучать независимо: по горизонтали скорость постоянна, а по вертикали тело движется с ускорением g вниз. Такой подход помогает находить траекторию, время полёта и дальность — например, при расчёте движения мяча или спортивного снаряда.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение тела, брошенного горизонтально, — движение с начальной скоростью, направленной горизонтально, при одновременном свободном падении. Начальная вертикальная скорость при таком броске равна нулю, но под действием тяжести появляется вертикальное движение. Это определение помогает не путать направление начального броска с дальнейшей траекторией.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, — движение, при котором начальная скорость имеет горизонтальную и вертикальную составляющие. Угол броска α отсчитывают от горизонтали, а начальную скорость обозначают v₀. Разделение скорости на проекции позволяет записать отдельные уравнения для каждой оси.
Траектория — линия, которую описывает тело во время движения. Если сопротивлением воздуха пренебречь, и горизонтальный бросок, и бросок под углом дают параболическую траекторию. Её уравнение показывает, как меняется высота тела при изменении горизонтальной координаты.
Время полёта — промежуток от броска до достижения телом заданного уровня, обычно поверхности земли. Для его определения используют вертикальное движение и высоты начала и конца полёта. Затем это время позволяет вычислить горизонтальное перемещение.
Движение удобно мысленно разделить на горизонтальное и вертикальное. Такое разложение возможно, потому что без сопротивления воздуха сила тяжести направлена только вниз и не меняет горизонтальную скорость. По горизонтали тело проходит равные расстояния за равные промежутки времени, а по вертикали движется с ускорением свободного падения g. Обе части происходят одновременно, поэтому в уравнениях для них используется одно и то же время t.
При горизонтальном броске начальная скорость v₀ целиком направлена по оси x, поэтому vₓ = v₀ и x = x₀ + v₀t. В вертикальном направлении тело начинает движение без начальной скорости, но сила тяжести ускоряет его вниз. Если ось y направлена вверх, то vᵧ = −gt, а y = y₀ − gt²/2. Значит, с каждой секундой вертикальная скорость становится больше по модулю, хотя горизонтальное движение остаётся равномерным.
При броске под углом скорость нужно разложить на проекции: v₀x = v₀ cos α и v₀y = v₀ sin α. Горизонтальная составляющая сохраняется, поскольку горизонтального ускорения нет. Вертикальная составляющая изменяется по закону vᵧ = v₀ sin α − gt: сначала тело может подниматься, затем в верхней точке вертикальная скорость на мгновение становится нулевой, после чего тело опускается. Уравнение высоты при выбранной оси y: y = y₀ + v₀ sin α · t − gt²/2.
Чтобы получить уравнение траектории, из уравнения x = x₀ + v₀x t выражают время и подставляют его в формулу для y. В результате координата y зависит от x линейно и квадратично, то есть график является параболой. Её направление и размеры определяются начальной скоростью, углом и начальной высотой. Поэтому параболы двух бросков могут иметь разную форму, хотя обе возникают из-за одного и того же ускорения свободного падения.
Время полёта находят из вертикального уравнения, подставляя высоту конечной точки. Если тело приземляется на уровне старта и брошено под углом вверх, подъём и спуск симметричны, поэтому T = 2v₀ sin α/g. При горизонтальном броске с высоты h условие падения на землю даёт h = gt²/2. Когда время известно, дальность находят из горизонтального уравнения: Δx = v₀x t, поскольку движение по этой оси равномерное.
| Характеристика | Горизонтальный бросок | Бросок под углом α |
|---|---|---|
| Начальная скорость по горизонтали | v₀x = v₀ | v₀x = v₀ cos α |
| Начальная скорость по вертикали | v₀y = 0 | v₀y = v₀ sin α |
| Ускорение по горизонтали и вертикали | aₓ = 0; aᵧ = −g | aₓ = 0; aᵧ = −g |
| Уравнение горизонтальной координаты | x = x₀ + v₀t | x = x₀ + v₀ cos α · t |
| Уравнение вертикальной координаты | y = y₀ − gt²/2 | y = y₀ + v₀ sin α · t − gt²/2 |
| Условие определения времени полёта | Подставить конечную высоту в y = y₀ − gt²/2 | Подставить конечную высоту в y = y₀ + v₀ sin α · t − gt²/2 |
| Форма траектории | Парабола | Парабола |
Сначала выберите столбец, соответствующий условиям задачи, и запишите уравнения по обеим осям. В таблице принято, что ось y направлена вверх, поэтому ускорение свободного падения имеет знак минус. Высоту конечной точки подставляют в вертикальное уравнение, а после нахождения времени используют горизонтальное.
Мяч брошен горизонтально со скоростью 5 м/с с высоты 20 м. Найдите время падения и дальность; сопротивлением воздуха пренебречь. Вертикальное движение определяет момент удара, потому что именно по этой оси мяч должен пройти высоту 20 м. Возьмём g = 10 м/с².
Ответ: время падения — 2 с, дальность — 10 м.
Тело брошено с земли со скоростью 20 м/с под углом 30° и приземляется на уровень броска. Нужно найти время полёта и дальность. Начальную скорость разделим на проекции: v₀x = 20 cos 30° ≈ 17,3 м/с, v₀y = 20 sin 30° = 10 м/с. Для вертикального движения начало и конец находятся на одной высоте.
Ответ: время полёта — 2 с, дальность — примерно 34,6 м.
Тело брошено со скалы высотой 15 м со скоростью 12 м/с под углом 30° вверх. Найдите время до падения на землю, дальность и скорость перед ударом; примите g = 10 м/с². Здесь вертикальная скорость направлена вверх, поэтому вначале тело ещё поднимается, прежде чем упасть. Выберем начало координат у земли, ось y направим вверх.
Ответ: время — примерно 2,43 с, дальность — примерно 25,3 м, скорость перед ударом — примерно 21,1 м/с.
При горизонтальном броске иногда считают вертикальную скорость постоянной и равной нулю. Так происходит, если начальную скорость ошибочно принимают за скорость на всём протяжении полёта. Проверка проста: вертикальное ускорение равно −g, значит vᵧ = −gt и после броска скорость вниз возрастает.
Другая ошибка — искать время падения по горизонтальному движению, словно у него и у падения разные часы. В действительности время одно и то же для обеих осей, но высоту, которую нужно преодолеть до земли, задаёт вертикальное движение. Проверьте расчёт: сначала найдите t из вертикального уравнения, затем используйте его в формуле горизонтального пути.
В уравнение одной оси могут подставить полную скорость вместо нужной проекции. Причина — в том, что v₀ воспринимают как скорость вдоль каждого направления, хотя при наклонном броске она делится на компоненты. Сверьте формулы: по горизонтали используется v₀ cos α, по вертикали — v₀ sin α.
Неверный знак ускорения или начальной высоты меняет результат решения. Знаки зависят от выбора направления оси, поэтому нельзя, например, считать высоту положительной вверх, а ускорение тяжести — положительным вверх. Перед вычислениями задайте оси и проверьте, что при оси y вверх ускорение равно −g, а высота над землёй положительна.
Для решения задач нужны уравнения равномерного и равноускоренного движения: первое описывает горизонтальную ось, второе — вертикальную. Также важно знать свободное падение и уметь разлагать вектор скорости на проекции. Если освоить эти приёмы, сложное движение можно свести к двум знакомым задачам по отдельности.
Этот подход пригодится при изучении движения под действием силы тяжести и законов Ньютона, объясняющих появление ускорения. Он применяется в задачах о дальности полёта и движении спортивных снарядов. В более сложных ситуациях к расчёту добавляют сопротивление воздуха, и тогда горизонтальная скорость уже не остаётся постоянной.
Почему тело при горизонтальном броске начинает падать, если его скорость направлена горизонтально?
Начальная скорость направлена горизонтально, но на тело всё равно действует сила тяжести вниз. Поэтому вертикальная составляющая скорости сначала равна нулю, а затем возрастает по модулю, и тело падает.
Как найти время падения тела, брошенного горизонтально?
Рассмотрите движение по вертикали: при начальной высоте h и нулевой начальной вертикальной скорости h = gt²/2. Отсюда время падения t = √(2h/g), если конечный уровень — земля.
Почему горизонтальная и вертикальная составляющие движения можно рассматривать отдельно?
Без сопротивления воздуха ускорение действует только вертикально, а горизонтальная сила отсутствует. Поэтому движение по горизонтали равномерное, по вертикали — равноускоренное, но оба процесса происходят одновременно и имеют одно время.
Как разложить начальную скорость при броске под углом к горизонту?
Если угол α отсчитывают от горизонтали, горизонтальная проекция равна v₀x = v₀ cos α, а вертикальная — v₀y = v₀ sin α. Эти проекции используют в уравнениях движения по соответствующим осям.
От чего зависит дальность полёта тела?
Дальность зависит от начальной скорости, угла броска, высоты начала движения и высоты приземления. Время полёта находят по вертикальному движению, а дальность — как горизонтальную скорость, умноженную на это время.
§ 11. Движение тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту
