"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Тело, которому сообщают начальную скорость и затем оставляют двигаться под действием силы тяжести, летит по кривой траектории. Чтобы описать такой полёт, его рассматривают как сочетание двух движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного по вертикали. Этот подход помогает находить координаты тела, время полёта, дальность и высоту подъёма. Он применим и к броску горизонтально, и к броску под углом, если сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Горизонтальный бросок — движение тела, которому в начальный момент сообщена скорость, направленная горизонтально. После броска на тело действует сила тяжести, поэтому оно одновременно продвигается вперёд и падает. Такое описание помогает не смешивать движение по двум направлениям.
Бросок под углом к горизонту — движение тела с начальной скоростью, направленной под углом α к горизонтали. Скорость удобно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие, обозначаемые v₀x и v₀y. Это позволяет записать отдельные уравнения для каждой координаты.
Дальность полёта — горизонтальное расстояние от точки броска до точки приземления. Её находят по горизонтальному движению за всё время полёта. Дальность зависит и от горизонтальной скорости, и от того, сколько времени тело находится в воздухе.
Максимальная высота подъёма — наибольшая высота тела над уровнем броска. Она определяется тем, насколько велика начальная вертикальная скорость: чем сильнее тело движется вверх, тем выше оно поднимется. При горизонтальном броске тело не поднимается выше точки старта.
Силу тяжести можно разложить по горизонтальному и вертикальному направлениям. Её горизонтальная составляющая равна нулю, а вертикальная направлена вниз, поэтому горизонтальная скорость не меняется, тогда как вертикальная изменяется с ускорением g. По этой причине движение тела удобно описывать как независимое сочетание равномерного движения по горизонтали и равноускоренного движения по вертикали.
При броске под углом начальная скорость v₀ образует прямоугольный треугольник со своими проекциями на оси. Если α отсчитывается от горизонтали, горизонтальная проекция прилежит к углу, а вертикальная — противолежит ему. Поэтому v₀x = v₀ cos α, а v₀y = v₀ sin α; это можно проверить при α = 0°, когда вся скорость горизонтальна.
Выберем начало координат в точке броска, направим ось x горизонтально, а ось y — вверх. Тогда координаты тела через время t равны x = v₀ cos α · t и y = v₀ sin α · t − gt²/2. Из первого равенства получаем t = x/(v₀ cos α) и подставляем его во второе: y = x tg α − gx²/(2v₀² cos² α). В выражении есть член с x², поэтому траектория является параболой.
Для приземления на тот же уровень, откуда тело бросили, вертикальная координата снова становится нулевой. Из y = v₀ sin α · t − gt²/2, кроме начального момента t = 0, получаем время полёта T = 2v₀ sin α/g. За это время горизонтальная координата увеличивается на L = v₀ cos α · T, то есть дальность L = v₀² sin 2α/g; вершина траектории достигается, когда вертикальная скорость становится нулевой, и высота подъёма равна H = v₀² sin² α/(2g).
При горизонтальном броске α = 0°, поэтому cos α = 1, а sin α = 0: начальная вертикальная скорость отсутствует. Если точку броска принять за y = 0, уравнения становятся x = v₀t и y = −gt²/2. Для тела, брошенного с высоты h над землёй, можно отсчитывать y от земли: тогда y = h − gt²/2, а время падения находится из условия y = 0.
На графике показано, как меняется форма траектории при разных углах броска при выбранных параметрах модели. Кривые сопоставляют положение тела по горизонтали и вертикали, а горизонтальный бросок соответствует α = 0°.
| Параметр | Горизонтальный бросок | Бросок под углом α |
|---|---|---|
| Начальная горизонтальная скорость | v₀x = v₀ | v₀x = v₀ cos α |
| Начальная вертикальная скорость | v₀y = 0 | v₀y = v₀ sin α |
| Уравнение горизонтальной координаты | x = v₀t | x = v₀ cos α · t |
| Уравнение вертикальной координаты | y = h − gt²/2 | y = v₀ sin α · t − gt²/2 |
| Траектория | Парабола, направленная вниз | Парабола |
| Время полёта | T = √(2h/g) | T = 2v₀ sin α/g |
| Дальность полёта | L = v₀√(2h/g) | L = v₀² sin 2α/g |
| Максимальная высота | На уровне броска | H = v₀² sin² α/(2g) |
Формулы для броска под углом в таблице предполагают, что тело приземляется на тот же уровень, с которого было брошено. Для горизонтального броска h — высота точки старта над землёй. Если уровни броска и приземления различаются, время нужно находить из общего уравнения вертикальной координаты.
Сначала определите, какое движение описывает задача, а затем выберите нужный столбец и проверьте условия применения формулы. Время полёта обычно находят по вертикальному движению, после чего используют его для расчёта дальности по горизонтали.
Условие. Тело бросили горизонтально с высоты 20 м со скоростью 15 м/с. Найти время падения и дальность полёта, сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: время падения — 2 с, дальность — 30 м.
Условие. Мяч бросили со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту. Найти время полёта, максимальную высоту и дальность; принять g = 10 м/с². Мяч приземляется на уровне броска.
Ответ: время полёта — 2 с, максимальная высота — 5 м, дальность — 20√3 м (примерно 34,6 м).
Условие. Тело бросили со скоростью 20 м/с под углом 45° к горизонту. Определить уравнение траектории, дальность полёта и скорость в наивысшей точке; принять g = 10 м/с², уровень приземления совпадает с уровнем броска.
Ответ: y = x − x²/40; дальность — 40 м; скорость в наивысшей точке — 10√2 м/с.
Использовать одно и то же уравнение для обеих координат — значит не учитывать, что ускорение действует только по вертикали. Так ошибаются, когда воспринимают полёт как единое движение с одинаковыми свойствами по всем направлениям. Проверьте себя: в горизонтальном уравнении не должно быть члена gt²/2, а в вертикальном он должен присутствовать.
Перепутать синус и косинус при разложении скорости легко, если не отметить, от какой оси отсчитывается угол. При угле к горизонтали горизонтальная проекция прилежит к углу, а вертикальная противолежит. Проверка простая: при α = 0° горизонтальная составляющая должна равняться v₀, а вертикальная — нулю.
Считать скорость в наивысшей точке нулевой — значит забыть, что вертикальная и горизонтальная составляющие меняются по-разному. Ошибка возникает, когда останавливающуюся на мгновение вертикальную составляющую принимают за всю скорость. Проверьте направление движения: в верхней точке тело продолжает перемещаться горизонтально, поэтому его скорость не равна нулю.
Подставлять формулу времени для броска с земли при старте с высоты неправильно, потому что тело должно пройти до уровня приземления большее расстояние по вертикали. Такая ошибка появляется, если в уравнении координаты не записать начальную высоту. Сначала задайте начало отсчёта и используйте условие y = 0 на уровне приземления; при горизонтальном броске с высоты h получается T = √(2h/g).
Для решения задач нужны векторы и разложение вектора на координатные составляющие: именно так находят v₀x и v₀y. Также пригодятся уравнения равномерного и равноускоренного движения. Без этих навыков трудно перейти от словесного описания броска к расчёту координат.
В основе метода лежит закон независимости движений по взаимно перпендикулярным направлениям. Он позволяет отдельно рассчитать горизонтальное и вертикальное перемещение, а затем совместить их в один путь тела. Эта идея используется не только для бросков, но и в других задачах механики.
Модель помогает описывать полёт снарядов, спортивные броски и прыжки, а также применяется в баллистике — науке о движении снарядов. Реальный полёт может отличаться от расчёта из-за сопротивления воздуха, которое здесь не учитывается. Поэтому формулы особенно удобны для идеализированной модели движения.
Почему горизонтальная и вертикальная составляющие движения рассматриваются независимо?
Сила тяжести направлена вертикально, поэтому она изменяет вертикальную скорость, но не горизонтальную. Векторы движения по этим направлениям можно изучать отдельно, а затем объединить результаты, чтобы определить положение тела.
Почему траектория тела имеет форму параболы?
По горизонтали координата меняется пропорционально времени, а по вертикали — квадратично из-за ускорения свободного падения. Если исключить время из уравнений координат, получится зависимость y от x с членом x² — уравнение параболы.
Как понять, какую составляющую начальной скорости нужно находить через синус, а какую через косинус?
Угол α отсчитывают от горизонтали. Горизонтальная составляющая прилежит к этому углу, поэтому v₀x = v₀ cos α; вертикальная противолежит ему, поэтому v₀y = v₀ sin α.
Равна ли нулю скорость тела в наивысшей точке траектории?
Нет, в наивысшей точке равна нулю только вертикальная составляющая скорости. Горизонтальная составляющая сохраняется, поэтому тело продолжает двигаться вперёд.
Можно ли применять формулы для броска с земли, если тело брошено с высоты?
Формулы движения по осям применять можно, но в уравнение вертикальной координаты нужно включить начальную высоту. Поэтому время полёта и дальность могут отличаться от значений для броска с уровня приземления.
§ 11. Движение тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту
