3. «Последняя секунда»

Определения и обозначения

Свободное падение — движение тела под действием силы тяжести, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. В школьных задачах такое движение считают идеализированным: тело падает только под влиянием Земли. Это позволяет использовать простые формулы равноускоренного движения.

Ускорение свободного падения — ускорение тела при свободном падении; у поверхности Земли его модуль приблизительно равен 9,8 м/с². Обычно его обозначают буквой g и направляют вниз. В расчётах часто используют округлённое значение g = 10 м/с².

Время падения — промежуток от начала падения до момента, когда тело достигает поверхности. Его обозначают буквой t. Зная это время, можно определить, какой путь прошло тело и с какой высоты оно упало.

Путь за n-ю секунду — расстояние, которое тело проходит между моментами времени n − 1 и n секунд после начала движения. Например, путь за третью секунду проходит от конца второй до конца третьей секунды. Эта величина не совпадает с путём за первые n секунд.

Как это устроено

Падение без начальной скорости можно описывать формулами равноускоренного движения, потому что ускорение свободного падения в выбранной области считают постоянным. Оно всё время направлено вниз, а начальная скорость тела равна нулю. Поэтому вместо общей формулы перемещения достаточно использовать s = gt² / 2.

Чтобы найти путь за всё время падения, в формулу равноускоренного движения подставляют продолжительность падения t. Получается s = gt² / 2. Если тело падает с высоты h и достигает земли, весь пройденный путь равен этой высоте, поэтому h = gt² / 2.

Путь за n-ю секунду нельзя получить простой подстановкой n в формулу полного пути, потому что эта формула даёт расстояние от начала движения. Сначала вычисляют путь за первые n секунд: s(n) = gn² / 2. Затем из него вычитают путь за первые n − 1 секунд, и получают sₙ = g(2n − 1) / 2.

Путь за каждую следующую секунду увеличивается, поскольку тело движется всё быстрее. За первую секунду оно имеет меньшую среднюю скорость, чем за вторую, а за вторую — меньшую, чем за третью. Постоянное ускорение означает, что скорость за равные промежутки времени прибавляет одну и ту же величину, поэтому расстояния за эти промежутки различаются.

Если известен путь за последнюю секунду, его приравнивают к формуле sₙ = g(2n − 1) / 2 и находят номер секунды n, то есть общее время падения. После этого высоту вычисляют по формуле h = gt² / 2. Такой расчёт верен только для падения из состояния покоя при пренебрежимо малом сопротивлении воздуха.

Величины и формулы при свободном падении из состояния покоя

Сначала определите, что именно требуется найти: полный путь, путь отдельной секунды или высоту. Затем проверьте, какие величины уже известны, и выберите соответствующую строку таблицы. В одной задаче можно последовательно использовать несколько формул, но единицы времени и ускорения должны быть согласованы.

Разбор задач

Задача 1. Тело падает без начальной скорости 3 с. Найдём путь за всё время и путь за третью секунду, принимая g = 10 м/с². Полный путь и путь за отдельную секунду — разные величины, поэтому для второй части понадобится вычитание.

1. Путь за 3 секунды: s(3) = 10 · 3² / 2 = 45 м.
2. Путь за первые 2 секунды: s(2) = 10 · 2² / 2 = 20 м.
3. Путь за третью секунду: s₃ = s(3) − s(2) = 45 − 20 = 25 м.

Ответ: за всё время тело прошло 45 м, за третью секунду — 25 м.

Задача 2. За последнюю секунду падения тело прошло 25 м. Определим время падения при g = 10 м/с². Последняя секунда имеет номер, равный общему времени падения, поэтому в формулу пути за n-ю секунду подставляем именно n.

1. Запишем формулу: 25 = 10(2n − 1) / 2.
2. Упростим выражение: 25 = 5(2n − 1), значит 2n − 1 = 5.
3. Получаем 2n = 6 и n = 3 с.

Ответ: тело падало 3 с. Проверка: путь за третью секунду равен 10(6 − 1) / 2 = 25 м.

Задача 3. Камень упал с высоты, причём за последнюю секунду он прошёл 35 м. Требуется найти высоту при g = 10 м/с². Сначала определим время падения, потому что без него формула высоты неприменима.

1. Приравняем путь за последнюю секунду высоте 35 м: 35 = 10(2n − 1) / 2.
2. Получаем 35 = 5(2n − 1), откуда 2n − 1 = 7 и n = 4 с.
3. Теперь найдём высоту: h = 10 · 4² / 2 = 80 м.

Ответ: высота падения равна 80 м.

Типичные ошибки

Путь за n-ю секунду путают с путём за первые n секунд. Ошибка появляется из-за похожих обозначений и подстановки одного и того же числа в разные формулы. Проверьте себя: для отдельной секунды должно быть вычитание s(n) − s(n − 1).

Считают, что путь за каждую секунду одинаков. Так рассуждают по аналогии с равномерным движением, где скорость постоянна. При свободном падении скорость растёт, поэтому вычисленные расстояния за соседние секунды должны увеличиваться.

Подставляют время падения в формулу пути за n-ю секунду. Формула sₙ = g(2n − 1) / 2 описывает только один временной интервал, а не весь путь. Если требуется высота или полный путь, используйте s = gt² / 2.

Забывают условия применимости формул. Формулы свободного падения предполагают нулевую начальную скорость и отсутствие заметного сопротивления воздуха. Перед решением проверьте, действительно ли тело отпустили без толчка и можно ли считать сопротивление малым.

Связь с другими темами

До изучения этой темы нужно знать формулы равноускоренного движения и уметь находить перемещение за заданный промежуток времени. Особенно полезно различать путь за всё время и путь на отдельном участке.

Знания применяются в задачах на свободное падение, движение по участкам времени и определение высоты по данным о движении. Такой подход показывает, как одна и та же формула помогает анализировать разные интервалы движения.

Что запомнить

• При свободном падении ускорение направлено вниз и приблизительно равно 9,8 м/с².
• При падении из состояния покоя скорость в начале движения равна нулю.
• Путь за n-ю секунду находят как разность путей за первые n и n − 1 секунд.
• Путь за последнюю секунду не равен полному пути падения.
• Чтобы определить высоту, сначала находят общее время падения.
• Расчёт применим, если сопротивлением воздуха можно пренебречь.