"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
При равноускоренном движении скорость за равные промежутки времени изменяется одинаково, поэтому путь за каждую секунду обычно не одинаков. Формулы для скорости и перемещения позволяют найти, где окажется тело в любой момент, а вычитание перемещений помогает вычислить путь именно за последнюю секунду. Этот приём применяют при разгоне, торможении и свободном падении; он особенно нагляден для тела, которое начинает движение из состояния покоя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равноускоренное движение — движение, при котором скорость за равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. Например, если каждую секунду скорость увеличивается на 2 м/с, движение равноускоренное. Это понятие помогает описывать разгон и падение с помощью небольшого числа величин.
Ускорение — величина, показывающая, как изменяется скорость тела за единицу времени. Его обозначают a и измеряют в м/с²; формула a = (v − v₀)/t связывает изменение скорости с прошедшим временем. По ускорению можно понять, насколько быстро меняется движение.
Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени. Её обозначают v, а начальную скорость — v₀; в задачах о движении с постоянным ускорением значение скорости задаётся формулой v = v₀ + at. Эта величина нужна, чтобы описать движение не только в начале или в конце пути, но и в выбранный момент.
Перемещение за последнюю секунду — перемещение тела в течение заключительной секунды движения. Если всё движение длилось t секунд, этот промежуток начинается в момент t − 1 и заканчивается в момент t. Его находят отдельно, поскольку полный путь за t секунд включает и все предыдущие секунды.
При постоянном ускорении за каждую секунду скорость изменяется на одинаковую величину: за время Δt её изменение равно aΔt. Поэтому за время t изменение скорости составляет at, а не одну и ту же фиксированную величину для любого t. Если начальная скорость равна v₀, к ней прибавляется это изменение: v = v₀ + at.
Эта формула непосредственно следует из определения ускорения: a = (v − v₀)/t. Умножим обе части на t и перенесём v₀: получим v = v₀ + at. Значит, если известны начальная скорость, ускорение и время, можно определить скорость в любой момент, учитывая знаки величин.
Перемещение зависит от времени иначе, чем скорость, потому что тело всё время движется с меняющейся скоростью. При постоянном ускорении средняя скорость за промежуток равна полусумме начальной и конечной: vср = (v₀ + v)/2. Подставив v = v₀ + at и умножив среднюю скорость на время, получаем s = v₀t + at²/2; именно поэтому появляется квадрат времени.
Чтобы найти перемещение за заключительную секунду движения длительностью t, сравним два перемещения: за всё время s(t) и за первые t − 1 секунд s(t − 1). Их разность равна v₀ + a(t − ½). Это формула перемещения за последнюю секунду, если время измерено в секундах; при неизменном направлении движения она даёт и пройденный путь.
Если тело начинает движение из покоя, v₀ = 0, а его перемещение за t секунд равно at²/2. За n-ю секунду оно проходит разность перемещений за n секунд и за n − 1 секунд: sₙ = a(n − ½). Значения пропорциональны 1, 3, 5, …, потому что разность квадратов n² − (n − 1)² равна 2n − 1.
| Величина | Формула | Что означает |
|---|---|---|
| Ускорение | a = (v − v₀)/t | Изменение скорости за единицу времени |
| Скорость в момент времени t | v = v₀ + at | Скорость через время t после начала отсчёта |
| Перемещение за время t | s = v₀t + at²/2 | Перемещение от начала движения за t секунд |
| Средняя скорость | vср = (v₀ + v)/2 | Средняя скорость за промежуток при постоянном ускорении |
| Перемещение за последнюю секунду | sпосл = v₀ + a(t − ½) | Перемещение за интервал от t − 1 до t |
| Движение из состояния покоя | s = at²/2; sₙ = a(n − ½) | Полное перемещение за t секунд и путь за n-ю секунду |
Сначала выберите формулу, в которой неизвестная величина выражена через данные задачи, и подставьте значения в единицах СИ. Для пути за последнюю секунду используйте общее время движения, а не номер предыдущей секунды. Знаки ускорения и скорости должны соответствовать выбранному направлению оси.
Автомобиль начинает движение со скоростью 5 м/с и ускоряется с ускорением 2 м/с². Требуется найти скорость и перемещение за 4 с. Начальная скорость не равна нулю, поэтому в формулу перемещения нужно включить оба слагаемых.
Ускорение направлено по движению, поэтому скорость за четыре секунды увеличилась. Ответ: скорость автомобиля через 4 с равна 13 м/с, перемещение за это время — 36 м.
Тело движется равноускоренно, за последнюю секунду проходит 18 м, его начальная скорость равна 2 м/с, ускорение — 4 м/с². Нужно определить полное время движения t. Поскольку дана только заключительная секунда, нельзя приравнивать 18 м к перемещению за всё время.
Проверка: последняя секунда начинается в момент 3,5 с, и тело проходит за неё 2 + 4 · 4 = 18 м. Ответ: полное время движения равно 4,5 с.
Камень падает без начальной скорости; нужно найти путь в пятую секунду и полный путь за первые 5 с. Сопротивлением воздуха пренебрегаем и принимаем g = 10 м/с². Важно различать путь за одну указанную секунду и путь за всё время падения.
Проверка подтверждает, что путь за пятую секунду не равен пути за первые пять секунд. Ответ: за пятую секунду камень проходит 45 м, за первые 5 с — 125 м.
Путь за последнюю секунду иногда заменяют полным путём за всё время. Так происходит, когда сразу подставляют t в формулу s = v₀t + at²/2 и не вычитают s(t − 1). Для проверки запишите оба пути и убедитесь, что их разность относится только к заключительному интервалу.
Другая ошибка — считать, что за каждую секунду тело проходит одинаковое расстояние. Так бывает, если забыть, что при ускорении скорость меняется, а значит, одинаковые промежутки времени не соответствуют одинаковым путям. Сравните скорости в начале и в конце интервалов: если они различны, одинаковый путь за секунды не следует предполагать.
Можно перепутать полное время движения t с номером последней секунды. Причина — слова «пятая секунда» и «пять секунд» звучат похоже, хотя первая означает интервал от 4 до 5 с. Проверьте, что для последней секунды вы вычитаете s(t − 1) из s(t), а не подставляете номер секунды как время без выяснения смысла.
Также забывают начальную скорость или неверно задают знак ускорения. Такое случается, когда формулу используют механически, не выбрав направление оси. Запишите v₀ и a со знаками, проверьте, куда направлены скорость и ускорение, и только потом подставляйте числа.
Для работы с формулами нужно знать скорость, перемещение, время и равномерное движение: они помогают сравнивать движение с постоянной скоростью и движение с ускорением. Следующая важная область — свободное падение и движение тела, брошенного вертикально вверх; в них ускорение связано с действием силы тяжести. Те же формулы применяются к разгону и торможению автомобиля, а также к движению по наклонной плоскости, если ускорение можно считать постоянным.
Чем путь за последнюю секунду отличается от пути за всё время?
Полный путь описывает движение от начала до конца, а путь за последнюю секунду — только заключительный интервал длительностью 1 с. Чтобы его найти, из пути за всё время вычитают путь, пройденный до начала этой секунды.
Почему расстояния за последовательные секунды увеличиваются?
При ускорении скорость тела растёт, поэтому за следующий одинаковый промежуток времени оно успевает пройти больше. Если тело стартует из состояния покоя и ускорение постоянно, пути по секундам пропорциональны 1, 3, 5 и так далее.
Можно ли применять формулу последней секунды при наличии начальной скорости?
Да. Для перемещения за последнюю секунду при постоянном ускорении используют sпосл = v₀ + a(t − ½), где t — полное время движения. Если тело меняет направление, нужно отдельно проверить, совпадает ли перемещение с пройденным путём.
Как выбрать знак ускорения в задаче?
Сначала выберите положительное направление оси и задайте знак скорости относительно него. Ускорение положительно, если направлено вдоль выбранной оси, и отрицательно, если направлено против неё.
Почему свободное падение считают равноускоренным движением?
У поверхности Земли на тело при свободном падении действует почти постоянное ускорение свободного падения g, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. Поэтому скорость меняется на одинаковую величину за равные промежутки времени.
3. «Последняя секунда»
