2. Пути, проходимые за последовательные равные промежутки времени

Определения и обозначения

Путь за промежуток времени — длина траектории, пройденная телом за выбранное время. Путь за весь период движения охватывает всё движение от начального до конечного момента, а путь за отдельный интервал — только часть траектории. Это различие нужно, чтобы не складывать или не сравнивать величины, относящиеся к разному времени.

Последовательные равные промежутки времени — интервалы одинаковой длительности, идущие один за другим без пропусков. Длительность каждого обозначают Δt, а номер интервала — n: первый интервал имеет номер 1, следующий — 2 и так далее. Такие обозначения позволяют сравнивать движение в равных условиях.

Равноускоренное движение — движение с постоянным ускорением, то есть скорость изменяется одинаково за равные промежутки времени. Именно для такого движения сравнивают пути за последовательные равные интервалы. Это позволяет связать отдельные пройденные пути с ускорением тела.

Путь за n-й интервал — расстояние от начала n-го интервала до его конца. Например, путь за третий интервал отсчитывают от конца второго до конца третьего, а не от начала движения. Чтобы найти полный путь за первые n интервалов, нужно учитывать все пройденные участки, а не только последний.

Как это устроено

При постоянном ускорении скорость за каждый интервал длительностью Δt меняется на одну и ту же величину aΔt. Поэтому в начале следующего интервала тело движется быстрее или медленнее на эту величину, чем в начале предыдущего. Если направление движения не меняется, средняя скорость на каждом следующем интервале также изменяется на aΔt, а путь равен средней скорости, умноженной на время. Значит, пути соседних интервалов образуют арифметическую последовательность: каждый следующий отличается от предыдущего на одну и ту же величину.

Эта постоянная разность равна a(Δt)². Ускорение показывает, насколько меняется скорость за единицу времени, а за интервал скорость меняется на aΔt. Путь за интервал зависит от средней скорости и ещё раз умножается на длительность Δt, поэтому разность путей получается равной aΔt · Δt. Чем больше ускорение или длительность интервала, тем заметнее отличаются пути; при отрицательном ускорении разность может быть отрицательной, если тело замедляется, но направление не меняет.

Путь за n-й интервал можно найти как разность двух путей от начала движения: до конца n-го интервала и до конца предыдущего. В начале n-го интервала скорость равна v₀ + a(n − 1)Δt, где v₀ — начальная скорость. За интервал скорость изменяется равномерно, поэтому средняя скорость равна скорости в начале плюс половина её изменения. Умножив среднюю скорость на Δt, получаем sₙ = v₀Δt + a(Δt)²(n − ½). Формула предполагает постоянное ускорение и отсутствие изменения направления.

Если тело начинает движение из состояния покоя, v₀ = 0 и слагаемое с начальной скоростью исчезает. Тогда путь за n-й интервал пропорционален числу n − ½: для первого интервала это ½, для второго — 1½, для третьего — 2½. Эти числа относятся как 1:3:5, поэтому в таком движении пути за равные интервалы относятся как 1:3:5:… . Отношение справедливо именно при старте из покоя, а не при любой начальной скорости.

При равномерном движении скорость постоянна, то есть ускорение равно нулю. Тогда тело за каждый одинаковый интервал проходит один и тот же путь vΔt, где v — постоянная скорость. Это частный случай рассмотренной закономерности: в формуле разности соседних путей при a = 0 разность равна нулю. В отличие от него при ненулевом ускорении пути обычно меняются от интервала к интервалу.

Пути за последовательные равные промежутки времени при равноускоренном движении

Сначала выбери строку, соответствующую известным данным: например, для пути за конкретный интервал используй формулу с его номером n. Если требуется проверить разность двух соседних путей, сравни полученный результат с a(Δt)². Отношение 1:3:5 применяй только при начальной скорости, равной нулю.

Разбор задач

Задача 1. Тело движется равноускоренно с начальной скоростью 2 м/с и ускорением 1 м/с². Найти путь за первый и второй интервалы длительностью 1 с. Искомые величины — пути за отдельные интервалы, поэтому нужно подставить номера 1 и 2 в формулу для sₙ. Проверка разности покажет, согласуется ли ответ с ускорением.

1. Записываем данные: v₀ = 2 м/с, a = 1 м/с², Δt = 1 с.
2. Для первого интервала n = 1: s₁ = 2 · 1 + 1 · 1²(1 − ½) = 2,5 м.
3. Для второго интервала n = 2: s₂ = 2 · 1 + 1 · 1²(2 − ½) = 3,5 м.
4. Проверяем разность: s₂ − s₁ = 1 м, а a(Δt)² = 1 · 1² = 1 м.

Ответ: за первый интервал тело прошло 2,5 м, за второй — 3,5 м. Разность путей равна 1 м, как и предсказывает формула. Начальная скорость влияет на каждый путь, но не на разность соседних путей.

Задача 2. Тело начинает движение из состояния покоя и проходит за первый секундный интервал 3 м. Найти пути за второй и третий интервалы. Поскольку интервалы равны, ускорение постоянно, а начальная скорость равна нулю, можно воспользоваться отношением 1:3:5. Путь первого интервала соответствует одной части этого отношения.

1. Сопоставляем первый путь и первую часть: 1 часть = 3 м.
2. Во втором интервале тело проходит три части: s₂ = 3 · 3 = 9 м.
3. В третьем интервале оно проходит пять частей: s₃ = 5 · 3 = 15 м.

Ответ: за второй интервал тело прошло 9 м, за третий — 15 м. Отношение подходит, потому что тело стартовало из состояния покоя и движение равноускоренное. Если бы у тела была начальная скорость, одного этого отношения было бы недостаточно.

Задача 3. За третий секундный интервал тело прошло 14 м, ускорение постоянно. Найти ускорение и путь за первые три секунды, если начальная скорость равна 2 м/с. Сначала по пути именно за третий интервал определим ускорение. Затем вычислим полный путь от начала движения, не подменяя его путём за третий интервал.

1. Подставляем n = 3, Δt = 1 с и v₀ = 2 м/с: 14 = 2 · 1 + a · 1²(3 − ½).
2. Получаем 14 = 2 + 2,5a, откуда a = 12 / 2,5 = 4,8 м/с².
3. Для пути за первые три секунды используем формулу движения: S = v₀t + at²/2. При t = 3 с получаем S = 2 · 3 + 4,8 · 3² / 2 = 27,6 м.

Ответ: ускорение равно 4,8 м/с², путь за первые три секунды — 27,6 м. Число 14 м относится только к третьему секундному интервалу. Полный путь включает также участки, пройденные в течение первых двух секунд.

Типичные ошибки

Путь за n-й интервал иногда принимают за путь от начала движения до конца этого интервала. Так происходит из-за похожих формулировок, хотя они обозначают разные расстояния. Проверка простая: путь за n-й интервал должен начинаться в начале именно этого интервала. Найди путь от начала движения до конца n-го интервала и вычти путь до конца предыдущего.

Соотношение 1:3:5 ошибочно переносят на любое равноускоренное движение. Оно выводится из формулы при v₀ = 0, а при ненулевой начальной скорости к путям добавляется слагаемое v₀Δt. Поэтому сравнивай условие задачи с предпосылкой: тело должно начинать движение из состояния покоя. Если начальная скорость есть, используй формулу для sₙ.

Формулу пути за n-й интервал применяют, даже если ускорение меняется или тело меняет направление. Тогда движение уже не соответствует условиям вывода формулы, а путь может перестать совпадать с модулем перемещения. Проверь, что ускорение постоянно и направление движения не меняется на рассматриваемом участке. Если это не так, разбей движение на подходящие участки и анализируй их отдельно.

Ускорение a путают с изменением скорости или разностью путей. За интервал скорость меняется на aΔt, а соседние пути различаются на a(Δt)²: это разные величины с разными единицами измерения. Проверяй размерность: у aΔt единицы скорости, у a(Δt)² — метры. Такая проверка быстро обнаруживает пропущенный множитель Δt.

Связь с другими темами

Для работы с этой закономерностью нужны понятия пути, скорости и ускорения, а также формулы равноускоренного движения. Скорость в начале каждого интервала помогает объяснить, почему меняется пройденный путь, а формулы движения позволяют находить общий путь за несколько интервалов. Поэтому полезно различать путь, перемещение и изменение скорости.

Закономерность применяют при анализе движения падающих тел, если сопротивлением воздуха можно пренебречь и ускорение считать постоянным. Она также помогает решать задачи на равноускоренное движение: по одному известному пути можно находить соседние пути или проверять расчёты. Важно учитывать начальную скорость и длительность интервалов.

Что запомнить

• Сравнивают пути за интервалы одинаковой длительности.
• При постоянном ускорении пути за соседние равные интервалы отличаются на a(Δt)².
• Путь за n-й интервал не равен пути за первые n интервалов.
• При старте из состояния покоя пути за равные интервалы относятся как 1:3:5:… .
• При равномерном движении пути за равные интервалы одинаковы.