1. Средняя скорость

Определения и обозначения

Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени. На отдельных участках движения она помогает описать, насколько быстро тело движется именно там; при изменении движения её значение может меняться.

Средняя скорость движения — отношение всего пути к полному времени движения: vср = s/t. Здесь vср — средняя скорость, s — путь, t — время; эта формула позволяет охарактеризовать движение за весь выбранный промежуток.

Путь s — длина траектории, пройденная телом за рассматриваемое время. Путь показывает, сколько всего тело прошло, даже если направление движения менялось; единица пути в СИ — метр (м).

Время движения t — длительность промежутка, за который пройден путь s. Оно показывает, сколько времени заняло движение в целом; в СИ время измеряют в секундах (с).

Как это устроено

Мгновенная скорость сообщает, как движется тело в отдельный момент, но для длинного промежутка этого недостаточно: скорость может то увеличиваться, то уменьшаться. Например, автомобиль может разгоняться, ехать медленно в городе и останавливаться на светофорах. Ни одно отдельное значение скорости не описывает все эти изменения сразу. Поэтому для общей характеристики используют среднюю скорость.

Чтобы найти среднюю скорость, берут весь пройденный путь и делят его на всё время: vср = s/t. Такое деление показывает, сколько пути в среднем приходится на единицу времени. Например, если за 2 часа пройдено 120 км, то в среднем за каждый час приходилось по 60 км. Перед вычислением нужно проверить, что единицы пути и времени согласованы.

В знаменатель включают всё время рассматриваемого промежутка, в том числе остановки. Во время остановки тело не проходит путь, но часы продолжают идти; если убрать это время, расчёт будет описывать только движение без остановок, а не весь промежуток. Поэтому сначала важно понять, от какого момента до какого требуется найти среднюю скорость. Для поездки от старта до прибытия учитывают и ожидание в пути.

Если движение состояло из нескольких участков, сначала находят общий путь, складывая пути участков, а затем складывают их времена. После этого делят общий путь на общее время. Просто усреднить скорости участков нельзя: при неодинаковой длительности участков каждая скорость относится к разному времени, а значит, такой подсчёт придаёт им неверный вес. Суммарные путь и время учитывают фактический вклад каждого участка.

Средняя скорость не обязана совпадать ни с одной мгновенной скоростью. Она получается из общего пути и времени, а не из измерения скорости в конкретную секунду. Например, при движении с разгонами и остановками среднее значение может лежать между скоростями движения, хотя в отдельные моменты тело ни разу не двигалось именно с такой скоростью. Это расчётная характеристика всего промежутка.

Величины, необходимые для расчёта средней скорости

Сначала определите, какие величины известны, и приведите их к согласованным единицам. Затем подставьте общий путь и полное время в формулу средней скорости. В таблице указаны единицы СИ, но в вычислениях можно использовать и другие согласованные единицы, например километры и часы.

Разбор задач

Задача 1

Автомобиль прошёл 120 км за 2 ч. Найдём среднюю скорость. Поскольку путь задан в километрах, а время — в часах, ответ получится в км/ч; переводить значения в СИ для этого не обязательно.

1. Запишем данные: s = 120 км, t = 2 ч.
2. Используем формулу vср = s/t и подставим весь путь и всё время: vср = 120/2 = 60 км/ч.
3. Проверим смысл результата: за каждый час на автомобиль в среднем приходилось 60 км пути.

Ответ: 60 км/ч.

Задача 2

Пешеход прошёл 3 км за 40 мин, затем остановился на 10 мин и прошёл ещё 2 км за 30 мин. Найдём среднюю скорость за всё время от начала движения до конца пути. Поскольку в вопросе задан весь промежуток, остановку нельзя исключать из времени.

1. Сложим пути: sобщ = 3 + 2 = 5 км.
2. Сложим время ходьбы и остановки: tобщ = 40 + 10 + 30 = 80 мин. Переведём его в часы: 80 мин = 4/3 ч.
3. Поделим общий путь на общее время: vср = 5/(4/3) = 3,75 км/ч.

Ответ: 3,75 км/ч.

Задача 3

Велосипедист ехал 30 мин со скоростью 12 км/ч, а следующие 30 мин — со скоростью 20 км/ч. Найдём среднюю скорость за весь путь. Здесь участки длились одинаковое время, но способ расчёта всё равно основан на общем пути и времени.

1. Переведём продолжительность каждого участка в часы: 30 мин = 0,5 ч.
2. Найдём путь на каждом участке: s₁ = 12 · 0,5 = 6 км, s₂ = 20 · 0,5 = 10 км. Общий путь равен 16 км.
3. Общее время: 0,5 + 0,5 = 1 ч. Тогда vср = 16/1 = 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч. В этой задаче результат совпал бы с полусуммой скоростей, потому что участки длились одинаковое время; такой приём не подходит для любых условий.

Типичные ошибки

• Усреднять скорости участков без учёта времени и пути. Так часто делают, потому что несколько чисел скоростей удобно сложить и разделить на их количество, но участки могут длиться по-разному. Для проверки найдите путь на каждом участке и рассчитайте vср по общим значениям.

• Не учитывать остановки. Кажется, что остановка не относится к движению, поскольку тело не перемещается, однако для промежутка от старта до финиша время остановки тоже прошло. Проверьте формулировку задачи и включите остановку, если требуется средняя скорость за весь промежуток.

• Подставлять путь или время только одного участка. Это происходит, когда при сложном движении замечают лишь последние или самые заметные данные. Перед делением выпишите суммы путей и времён по всем участкам, которые входят в условие.

• Смешивать единицы, например делить километры на секунды и записывать результат в км/ч. Число тогда не соответствует указанной единице измерения. Проверьте пары единиц: для км/ч нужны километры и часы, а для м/с — метры и секунды.

Связь с другими темами

До изучения средней скорости нужно знать, что такое путь и время, уметь переводить их единицы и пользоваться формулой скорости равномерного движения. Эти знания позволяют правильно определить, какие величины подставлять в расчёт. Средняя скорость пригодится при изучении неравномерного движения и графиков движения, а также в задачах, где тело проходит несколько участков с разными условиями. В таких задачах важно выделять весь рассматриваемый промежуток.

Что запомнить

• Средняя скорость характеризует движение за весь рассматриваемый промежуток.
• Формула средней скорости: vср = s/t.
• В числителе берут весь пройденный путь, в знаменателе — всё время движения.
• Остановки учитывают, если рассматривают время от начала до конца движения.
• При движении по участкам складывают пути и времена.
• Средняя скорость в общем случае не равна среднему арифметическому скоростей участков.