2. Средняя скорость

Определения и обозначения

Неравномерное движение — движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит разные пути. Например, автомобиль может сначала ехать медленно, а затем быстрее. Для такого движения одной постоянной скоростью описать весь маршрут нельзя, поэтому используют среднюю скорость.

Средняя скорость — физическая величина, равная отношению всего пройденного пути ко всему времени движения. Её обозначают vср и находят по формуле vср = sобщ / tобщ. Эта величина помогает сравнивать движение на маршрутах, где скорость менялась.

Пройденный путь — длина траектории, пройденная телом за рассматриваемый промежуток времени. Обычно его обозначают s, а полный путь на нескольких участках — sобщ. Путь нужен для расчёта средней скорости; он не равен перемещению, которое учитывает только изменение положения тела.

Интервал времени — промежуток, в течение которого рассматривают движение тела. Его длительность обозначают t; при движении по частям складывают длительности всех участков. От выбора интервала зависит ответ: если в него включена остановка, её время также относится к рассматриваемому движению.

Как это устроено

При неравномерном движении скорость изменяется, поэтому её значение в один момент или на одном участке не описывает маршрут целиком. Например, две поездки могут начинаться с одинаковой скоростью, но одна завершится быстрее из-за более долгого быстрого движения. Чтобы сравнить такие поездки одним числом, нужно связать весь результат движения с целым интервалом. Эту роль выполняет средняя скорость.

Смысл средней скорости следует из вопроса: сколько пути в среднем приходится на единицу времени за весь интервал? Для равномерного движения скорость равна пути, делённому на время. При неравномерном движении тот же принцип применяют к общему результату: vср = sобщ / tобщ. Здесь sобщ — сумма путей, а tобщ — полная длительность выбранного интервала.

В расчёт входят весь путь и всё время, потому что средняя скорость характеризует именно весь рассматриваемый промежуток. Во время остановки тело проходит нулевой путь, однако время продолжает идти. Если исключить паузу, получится скорость, усреднённая только за время непосредственного движения, а не за всю поездку. Поэтому перед вычислением нужно уточнить, какой интервал задан в условии.

Скорости на отдельных участках нельзя обычно просто сложить и разделить на их число: при этом не учитывается, сколько времени тело двигалось с каждой скоростью. Например, скорость на длинном участке должна влиять на результат сильнее, чем скорость на коротком участке. Арифметическое среднее допустимо лишь при подходящих условиях, в частности когда времена участков равны. Надёжный способ — каждый раз вычислять общий путь и общее время.

Если известны скорости и времена участков, путь каждого находят как s = vt, затем складывают пути и времена. Если известны равные по длине участки, сначала выражают время каждого через путь и скорость: t = s/v. В обоих случаях используют отношение общего пути к общему времени, но исходные данные подсказывают, какие величины удобнее вычислить первыми. Так учитывается реальная длительность каждого этапа маршрута.

Средняя скорость и величины, используемые при её расчёте

Сначала определите, какие величины даны, и приведите путь и время к совместимым единицам. Для нескольких участков посчитайте общий путь и общее время, а затем примените формулу средней скорости. Единицу ответа удобно выбирать по условию: км/ч для пути в километрах и времени в часах, м/с для метров и секунд.

Разбор задач

Автомобиль прошёл путь 180 км за 3 ч. Найдите его среднюю скорость.

Дан путь sобщ = 180 км и время tобщ = 3 ч. Путь уже дан целиком, поэтому промежуточные участки искать не нужно. Так как километры и часы образуют согласованные единицы для ответа в км/ч, переводить их не требуется.

1. Запишем формулу: vср = sобщ / tобщ.
2. Подставим данные: vср = 180 км / 3 ч.
3. Выполним деление: vср = 60 км/ч.

Ответ: средняя скорость автомобиля равна 60 км/ч. Это означает, что на всём интервале на каждый час в среднем приходилось 60 км пути. Значение не утверждает, что автомобиль всё время двигался именно с такой скоростью.

Велосипедист ехал 20 мин со скоростью 12 км/ч, затем 40 мин со скоростью 18 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём маршруте.

Даны скорости и времена двух участков, а значит, прежде всего нужно узнать длину каждого участка. Переведём время в часы, чтобы оно согласовалось с километрами в час. После этого сложим пути и времена, не усредняя скорости напрямую.

1. Переведём время: 20 мин = 1/3 ч, 40 мин = 2/3 ч; общее время равно 1 ч.
2. Найдём пути: s₁ = 12 · 1/3 = 4 км, s₂ = 18 · 2/3 = 12 км.
3. Сложим пути: sобщ = 4 + 12 = 16 км.
4. Разделим общий путь на общее время: vср = 16 км / 1 ч = 16 км/ч.

Ответ: средняя скорость велосипедиста равна 16 км/ч. Второй участок длиннее, потому что на большей скорости велосипедист ехал вдвое дольше. Поэтому результат не равен простому среднему чисел 12 и 18.

Поезд прошёл две равные по длине части пути со скоростями 60 км/ч и 90 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути.

В условии равны пути, а не времена движения, поэтому арифметическое среднее скоростей здесь применять нельзя. Обозначим длину каждой части через s; полный путь тогда равен 2s. Время на каждом участке найдём делением пути на скорость.

1. Первый участок: t₁ = s / 60, второй участок: t₂ = s / 90.
2. Общее время: tобщ = s/60 + s/90 = 5s/180 = s/36 ч, если s выражено в километрах.
3. Подставим общий путь и время: vср = 2s / (s/36).
4. Сократим s: vср = 72 км/ч.

Ответ: средняя скорость поезда равна 72 км/ч. Она ниже арифметического среднего 75 км/ч, потому что поезд дольше ехал на более медленной части маршрута. Длина каждой части сократилась в расчёте, поэтому знать конкретное значение s не понадобилось.

Типичные ошибки

Складывать скорости вместо путей и времени — значит подменять формулу средней скорости не имеющим физического смысла выражением. Так ошибаются, когда видят несколько значений скорости и сразу пытаются объединить их. Проверьте себя: в числителе должны стоять метры или километры, а в знаменателе — секунды или часы.

Нельзя без проверки условий находить среднее арифметическое скоростей участков. Оно игнорирует разную длительность участков, поэтому результат может не описывать весь маршрут. Сначала выясните, что известно — времена или пути; затем найдите полный путь и полное время и сравните ответ с прямым расчётом по формуле.

Исключать остановки из времени ошибочно, если требуется средняя скорость за весь интервал от начала до конца поездки. Остановку не считают пройденным путём, но её длительность включают в общее время. Чтобы проверить выбор, перечитайте условие: если оно задаёт время всей поездки, паузы внутри неё учитываются.

Несогласованные единицы приводят к неверному числу, даже если формула выбрана правильно. Например, нельзя делить километры на секунды и подписывать результат как км/ч. Перед вычислением переведите величины: используйте метры и секунды для м/с либо километры и часы для км/ч.

Связь с другими темами

Для расчёта средней скорости нужны знакомые понятия пути, времени и скорости равномерного движения, а также умение переводить единицы. В задачах на несколько участков эта тема учит собирать маршрут из отдельных этапов и пригодится при чтении графиков движения и сравнении реальных поездок. Позже важно будет отличать среднюю скорость за интервал от мгновенной скорости — скорости тела в конкретный момент; обе величины используются в кинематике.

Что запомнить

• Средняя скорость равна отношению всего пути ко всему времени.
• Формула средней скорости: vср = sобщ / tобщ.
• При движении по участкам складывают пути и времена, а не скорости.
• Остановки учитывают, если они входят в рассматриваемый промежуток времени.
• Средняя скорость обычно не равна арифметическому среднему скоростей.
• Единицы пути и времени перед расчётом должны быть согласованы.