1. Средняя скорость

Определения и обозначения

Средняя скорость — отношение всего пройденного пути ко всему времени движения: vср = sобщ / tобщ. Она характеризует движение в целом, а не отдельный его момент. По этой величине можно сравнить маршруты разной продолжительности. Чтобы найти её, сначала определяют суммарные путь и время.

Пройденный путь — длина траектории движения, складывающаяся из путей на отдельных участках. Обычно его обозначают s, а полный путь — sобщ. Например, если тело сначала прошло один участок, а затем другой, их длины складывают. Это позволяет учитывать весь маршрут, даже если скорость менялась.

Общее время движения — промежуток от начала до окончания рассматриваемого движения. Его обозначают tобщ, и оно может включать остановки, если те входят в условие. Чтобы определить среднюю скорость за весь маршрут, нельзя брать время только активного движения, когда условие требует учесть весь промежуток. Общее время получают сложением длительностей участков и нужных пауз.

Скорость на участке — скорость тела на отдельной части пути; на разных участках она может быть разной. Её обозначают v, иногда добавляя номер участка: v₁, v₂. Эта величина помогает находить путь или время конкретного этапа. Но сама по себе скорость одного этапа не описывает движение по всему маршруту.

Как это устроено

Среднюю скорость находят делением общего пути на общее время, потому что скорость показывает, какой путь приходится на единицу времени. Для всего маршрута нужно сопоставить именно суммарные величины: сколько километров пройдено и сколько часов на это затрачено. Сложение скоростей не отвечает на этот вопрос, поскольку скорость — не часть пути и не длительность этапа. Простое усреднение тоже может дать неверный результат, если участки продолжались неодинаково.

Если движение состоит из нескольких участков, сначала удобно рассмотреть каждый отдельно. Складывают пути sобщ = s₁ + s₂ + … и времена tобщ = t₁ + t₂ + …, после чего используют формулу vср = sобщ / tобщ. Когда известно, сколько длился каждый этап, времена сразу можно суммировать. Если известны путь и скорость на участке, время находят из связи t = s / v.

При равных временах движения на участках средняя скорость равна среднему арифметическому участковых скоростей. Например, за одинаковое время на каждом этапе пройденные пути пропорциональны скоростям: более высокая скорость даёт больший путь, но только за такой же промежуток. Поэтому в формуле общего пути и общего времени одинаковые длительности сокращаются, и получается обычное среднее скоростей. При разных временах этот вывод не работает: быстрый или медленный участок может длиться дольше, и его вклад в общий результат меняется.

Остановка увеличивает время всего маршрута, хотя тело в этот момент не проходит путь. Если нужно найти среднюю скорость от начала поездки до её завершения, длительность остановки прибавляют к времени движения. В числителе при этом остаётся только путь, действительно пройденный телом. Поэтому средняя скорость за маршрут с остановкой меньше, чем за те же участки без паузы.

Скорость на участке относится к выбранной части маршрута, а средняя скорость объединяет всё движение. Ещё одна величина — мгновенная скорость: это скорость тела в конкретный момент, например показание спидометра сейчас. Она может непрерывно меняться, пока средняя скорость за уже пройденный маршрут остаётся одним итоговым отношением. Поэтому нельзя считать, что тело обязательно двигалось со средней скоростью на каждом участке или в каждый момент.

Величины и формулы для расчёта средней скорости

Сначала выберите строки, соответствующие данным задачи, и найдите недостающие путь или время. Затем сложите значения для всех участков и подставьте общие величины в формулу средней скорости. Единицы в расчёте должны быть согласованы: например, километры и часы можно оставить вместе, если ответ нужен в км/ч.

Разбор задач

Автомобиль прошёл 120 км за 2 ч. Найти его среднюю скорость.

Известны весь путь и время, поэтому дополнительные вычисления для отдельных участков не нужны. Используем определение средней скорости: делим пройденный путь на затраченное время. Поскольку путь задан в километрах, а время в часах, ответ получится в километрах в час. Проверка единиц помогает не перепутать скорость с путём или временем.

1. Записываем данные: sобщ = 120 км, tобщ = 2 ч.
2. Применяем формулу: vср = sобщ / tобщ = 120 км / 2 ч.
3. Вычисляем: vср = 60 км/ч.

Ответ: средняя скорость автомобиля равна 60 км/ч. Это не обязательно означает, что на каждом участке автомобиль двигался именно с такой скоростью. Это отношение общего пути к общему времени.

Велосипедист проехал первую половину времени со скоростью 12 км/ч, а вторую — со скоростью 18 км/ч. Найти среднюю скорость.

Участки продолжались одинаковое время, хотя их длины различались. Поэтому можно воспользоваться средним арифметическим скоростей, предварительно обосновав это равными временными интервалами. Если обозначить длительность каждого этапа через t, общий путь равен 12t + 18t, а общее время — 2t. Деление этих величин даёт среднее двух скоростей.

1. Обозначаем время каждого этапа через t. Тогда общий путь: sобщ = 12t + 18t.
2. Общее время равно tобщ = 2t.
3. Находим vср = (12t + 18t) / 2t = 30 / 2 = 15 км/ч.

Ответ: средняя скорость велосипедиста равна 15 км/ч. Здесь среднее арифметическое применимо именно потому, что времена равны. При одинаковых расстояниях на этапах понадобился бы другой расчёт.

Автобус прошёл 30 км со скоростью 60 км/ч, сделал остановку на 15 мин, затем прошёл 50 км со скоростью 50 км/ч. Найти среднюю скорость за весь маршрут.

Нужно учесть оба участка и остановку: общий путь складывается из 30 км и 50 км, а общее время включает время движения и 15 минут паузы. Время движения на участках находим делением пути на скорость. Удобно перевести остановку в часы, чтобы все времена были выражены одинаково. Затем делим полный путь на полный промежуток времени.

1. Первый участок: t₁ = 30 / 60 = 0,5 ч. Второй участок: t₂ = 50 / 50 = 1 ч.
2. Остановка длится 15 мин = 0,25 ч. Тогда tобщ = 0,5 + 1 + 0,25 = 1,75 ч.
3. Общий путь: sобщ = 30 + 50 = 80 км. Средняя скорость: vср = 80 / 1,75 ≈ 45,7 км/ч.

Ответ: средняя скорость автобуса за весь маршрут примерно равна 45,7 км/ч. Остановка не добавила пути, но увеличила общее время. Если исключить её, получится другая средняя скорость — только за время движения.

Типичные ошибки

Первая ошибка — складывать скорости вместо того, чтобы сложить пути и времена. Она возникает из-за привычки объединять числа, относящиеся к отдельным участкам, но скорости нельзя напрямую складывать для получения общей скорости. Проверка простая: вернитесь к формуле vср = sобщ / tобщ и выясните, найдены ли обе общие величины. Если в расчёте нет общего пути и общего времени, способ выбран неверно.

Вторая ошибка — вычислять среднее арифметическое скоростей при разной продолжительности участков. Такой приём кажется удобным, потому что скорости перечислены в условии, но он не учитывает, сколько времени тело двигалось с каждой из них. Перед усреднением проверьте длительности этапов. Если они не равны, найдите путь каждого участка, а затем разделите суммарный путь на суммарное время.

Третья ошибка — забывать об остановке, когда требуется средняя скорость за весь маршрут. Поскольку во время паузы тело стоит, её иногда ошибочно исключают, однако от начала поездки до её завершения проходит и это время. Проверьте, какой промежуток задан в вопросе: если в него входит остановка, добавьте её длительность к общему времени. Путь за остановку не прибавляйте.

Четвёртая ошибка — смешивать единицы, например подставлять путь в километрах, а время в секундах и записывать результат как км/ч. Обычно это происходит, когда данные из условия не переводят к единой системе перед вычислением. Сначала приведите путь и время к согласованным единицам или явно укажите полученную составную единицу. Например, километры, делённые на часы, дают км/ч, а метры, делённые на секунды, — м/с.

Связь с другими темами

Для расчёта средней скорости нужны базовые навыки: находить путь, время и скорость при равномерном движении, складывать промежутки времени и переводить единицы. Эти действия помогают разбирать маршрут, разделённый на участки с разными условиями движения. Такое описание по этапам пригодится при построении графиков движения и решении задач на неравномерное движение. Средняя скорость также используется для анализа поездок транспорта, спортивных результатов и экспериментальных данных.

Что запомнить

• Средняя скорость равна всему пройденному пути, делённому на всё время движения.
• Для всего маршрута нужно складывать пути и времена, а не отдельные скорости.
• Время остановок учитывают, если среднюю скорость ищут за весь рассматриваемый промежуток.
• Средняя скорость не обязана быть средним арифметическим скоростей на участках.
• Среднее арифметическое скоростей применимо при равных временах движения.
• Перед вычислением нужно привести все величины к согласованным единицам.