§ 10. «Секреты» прямолинейного равноускоренного движения

Определения и обозначения

Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой с постоянным ускорением. Это значит, что за равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину. Например, за каждую секунду она может увеличиваться на 2 м/с. Такое описание позволяет применять одни и те же формулы на всём рассматриваемом промежутке.

Ускорение — векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени: a = (v − v₀)/t. Его обозначают a, а единица измерения в СИ — метр в секунду за секунду, или м/с². Ускорение показывает, насколько быстро меняется скорость и в какую сторону происходит изменение. В задачах на прямую обычно рассматривают проекцию ускорения на выбранную ось.

Начальная скорость — скорость тела в выбранный начальный момент времени; её обозначают v₀. Начало отсчёта времени не обязательно совпадает с началом движения: момент t = 0 можно выбрать для удобства. Значение v₀ нужно, чтобы учесть, с какой скоростью тело уже двигалось в этот момент. Если тело начинает движение из состояния покоя, то v₀ = 0.

Перемещение — вектор, направленный от начального положения тела к конечному; обозначается s. Оно описывает изменение положения, а не всю длину пройденной траектории. Если тело сначала движется вперёд, а затем возвращается, перемещение может быть небольшим или даже нулевым, хотя путь уже пройден. Поэтому в формулах движения используют перемещение или его проекцию, а не автоматически подставляют путь.

Как это устроено

Определение ускорения связывает изменение скорости со временем: a = (v − v₀)/t. Умножим обе части на t и прибавим v₀: получим v = v₀ + at. Формула говорит, как найти скорость через время, если ускорение постоянно и известна скорость в начале отсчёта. При a > 0 скорость не обязательно растёт по модулю: это зависит ещё и от её знака.

При постоянном ускорении скорость меняется равномерно — её график от времени представляет собой прямую. Поэтому средняя скорость за промежуток равна среднему арифметическому начальной и конечной: vср = (v₀ + v)/2. Перемещение равно средней скорости, умноженной на время: s = vсрt. Подставляя v = v₀ + at, получаем s = v₀t + at²/2; множитель ½ появляется из усреднения меняющейся скорости.

Для работы со знаками заранее выбирают положительное направление оси. Если проекции скорости и ускорения имеют одинаковый знак, ускорение увеличивает модуль скорости; при разных знаках оно уменьшает его. Так, отрицательное ускорение может как тормозить тело, движущееся в положительном направлении, так и разгонять тело, движущееся в отрицательном. О торможении судят по направлениям скорости и ускорения, а не только по знаку a.

Формулы применяют к проекциям векторов на ось: например, v = v₀ + at означает равенство проекций. Поэтому направление оси и начало отсчёта координаты нужно выбрать до вычислений и сохранять этот выбор до конца задачи. Направление движения тела может меняться, но ось при этом менять не нужно. Отрицательный результат для проекции показывает направление, противоположное выбранному положительному.

Перемещение связано с координатами так: s = x − x₀. Подстановка формулы перемещения даёт x = x₀ + v₀t + at²/2. Координата зависит от времени квадратично, поэтому график x(t) при постоянном ненулевом ускорении имеет форму параболы. Её наклон в каждой точке связан со скоростью: чем круче график, тем больше модуль скорости.

На графике скорости от времени наклон прямой показывает ускорение. Площадь между графиком и осью времени соответствует проекции перемещения: участок над осью даёт положительный вклад, а под осью — отрицательный. На графике ниже скорость равна нулю при t = 1 с, а затем становится отрицательной. Значит, тело меняет направление движения, хотя его ускорение остаётся постоянным.

Величины и уравнения прямолинейного равноускоренного движения

Выберите формулу, в которой есть искомая величина и известные данные. Если направление задано, подставляйте проекции со знаками, а не только модули. Проверьте единицы: например, в формуле перемещения каждый член должен выражаться в метрах.

Разбор задач

Автомобиль начинает движение из состояния покоя и движется с ускорением 2 м/с² в течение 5 с. Найти его скорость и перемещение.

Состояние покоя означает, что начальная скорость равна нулю. Ускорение направлено вдоль движения, поэтому выберем это направление за положительное: a = 2 м/с². Требуется найти конечную скорость и перемещение за заданное время.

1. Запишем данные: v₀ = 0, a = 2 м/с², t = 5 с.
2. Найдём скорость: v = v₀ + at = 0 + 2 · 5 = 10 м/с.
3. Найдём перемещение: s = v₀t + at²/2 = 0 + 2 · 25/2 = 25 м.

Ответ: скорость автомобиля через 5 с равна 10 м/с, перемещение — 25 м. Нулевое начальное значение исключило первый член формулы перемещения. Проверка единиц даёт м/с для скорости и метры для перемещения.

Тело движется со скоростью 12 м/с и начинает равномерно тормозить с ускорением 3 м/с², направленным против скорости. Найти время остановки и тормозной путь.

Направим ось вдоль начальной скорости, тогда v₀ = 12 м/с, а проекция ускорения отрицательна: a = −3 м/с². Остановка наступит, когда проекция скорости станет равна нулю. Сначала найдём это время, затем подставим его в формулу перемещения.

1. Запишем условие остановки: v = 0.
2. Из v = v₀ + at получим 0 = 12 − 3t, поэтому t = 4 с.
3. Найдём перемещение: s = 12 · 4 + (−3) · 4²/2 = 48 − 24 = 24 м.

Ответ: время остановки — 4 с, тормозной путь — 24 м. Пока автомобиль движется только вперёд, путь равен модулю перемещения. Ускорение отрицательное из-за выбранного направления оси, а не потому, что отрицательный знак всегда означает торможение.

Тело движется прямолинейно с постоянным ускорением. За 4 с его скорость изменилась с −6 м/с до 2 м/с. Найти ускорение и перемещение за это время, а также определить момент смены направления движения.

Отрицательная начальная скорость показывает, что тело сначала движется против положительного направления оси. Конечная скорость положительна, следовательно, за это время тело должно было развернуться. Найдём ускорение по изменению скорости, а перемещение — по средней скорости.

1. Ускорение: a = (v − v₀)/t = (2 − (−6))/4 = 2 м/с².
2. Средняя скорость равна (v₀ + v)/2 = (−6 + 2)/2 = −2 м/с, поэтому s = vсрt = −2 · 4 = −8 м.
3. Смена направления происходит при v = 0: 0 = −6 + 2t, откуда t = 3 с.

Ответ: ускорение равно 2 м/с², перемещение за 4 с равно −8 м, направление движения меняется через 3 с после начала отсчёта. Отрицательное перемещение означает, что конечное положение находится на 8 м в сторону, противоположную положительному направлению. Пройденный путь при этом больше модуля перемещения: до разворота тело прошло 9 м, затем ещё 1 м, всего 10 м.

Типичные ошибки

• Считать ускорение отрицательным только потому, что тело тормозит, — ошибка: знак задаёт выбранное направление оси. Её допускают, путая знак ускорения со смыслом изменения скорости. Проверьте, в какую сторону направлены скорость и ускорение: при торможении они противоположны.

• Подставлять путь вместо перемещения нельзя, потому что формулы описывают изменение положения с учётом направления. Ошибка особенно вероятна, если тело разворачивается и пройденный путь кажется очевидной величиной. Сопоставьте знак результата с выбранной осью и отдельно оцените длину траектории.

• В формуле перемещения легко потерять множитель ½ или перепутать её с формулой скорости. Причина часто в попытке запомнить формулы без понимания, откуда они получены. Проверьте вывод через среднюю скорость и размерности: в перемещении слагаемые должны иметь единицу длины.

• Формулы равноускоренного движения неприменимы, если ускорение меняется со временем. Их иногда используют просто потому, что движение происходит по прямой. Перед расчётом проверьте условие задачи: ускорение должно быть постоянным на всём рассматриваемом промежутке.

Связь с другими темами

Чтобы изучать равноускоренное движение, нужно уметь различать скорость, перемещение и координату, а также находить проекции векторов на ось. При решении задач понадобятся преобразование формул и перевод величин в единицы СИ. Эти навыки применяются далее при описании движения тел под действием силы тяжести. Графики связывают тему с графическим способом описания движения: наклон графика координаты связан со скоростью, а площадь под графиком скорости — с перемещением.

Что запомнить

• При равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Скорость меняется по закону v = v₀ + at.
• Перемещение за время t равно s = v₀t + at²/2.
• Координата определяется формулой x = x₀ + v₀t + at²/2.
• Знаки проекций зависят от выбора направления оси.
• При постоянном ускорении средняя скорость равна полусумме начальной и конечной скоростей.