§ 10. «Секреты» прямолинейного равноускоренного движения

Определения и обозначения

Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой, при котором ускорение постоянно по модулю и направлению. Это удобная модель для разгона, торможения и свободного падения. Она позволяет заранее вычислять скорость, перемещение и координату тела.

Ускорение — векторная физическая величина, показывающая, как изменяется скорость за единицу времени; обозначается a. В выбранной оси обычно используют проекцию ускорения, которая может быть положительной или отрицательной. Именно знак показывает направление изменения скорости.

Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени. При равноускоренном движении она изменяется линейно: за одинаковые промежутки времени получает одинаковые приращения. Эта величина нужна, чтобы описать не только начало и конец движения, но и любой его момент.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. При движении вдоль оси его проекция определяется изменением координаты: s = x − x₀. Перемещение учитывает направление, поэтому его нельзя автоматически заменять пройденным путём.

Как это устроено

Ускорение определяется отношением изменения скорости ко времени: a = Δv/Δt. Если a постоянно, то при каждом одинаковом интервале времени Δt изменение скорости Δv = aΔt получается одинаковым. Поэтому за 1, 2, 3 секунды скорость изменяется на величины a, 2a, 3a, если время выражено в секундах.

Для начального момента t = 0 скорость равна v₀, а через время t она изменится на at. Складывая начальную скорость и это изменение, получаем v = v₀ + at. Знак a определяется выбранной положительной осью: если ускорение направлено по оси, его проекция положительна, а если против оси — отрицательна.

Перемещение за время t можно представить как сумму маленьких перемещений, совершаемых за короткие интервалы времени. В начальный момент тело движется со скоростью v₀, а добавка к скорости постепенно растёт из-за ускорения. Поэтому перемещение складывается из v₀t и дополнительного участка, равного at²/2: s = v₀t + at²/2.

При постоянном ускорении скорость изменяется равномерно, поэтому её среднее значение за интервал времени равно полусумме начальной и конечной скоростей: vср = (v₀ + v)/2. Перемещение тогда можно найти проще: s = vсрt = (v₀ + v)t/2. Эта запись особенно удобна, когда известны обе скорости, но неизвестно ускорение.

Формулы объясняют вид графиков. Зависимость v(t) линейна, поэтому её график — прямая, а постоянное ускорение изображается горизонтальной прямой. Координата содержит слагаемое at²/2, поэтому график x(t) имеет форму параболы; её ветви направлены вверх при a > 0 и вниз при a < 0.

Величины и формулы прямолинейного равноускоренного движения

Таблица помогает выбрать формулу по известным данным и искомой величине. Сначала определите положительное направление оси, затем подставляйте именно проекции величин и проверяйте единицы измерения.

Разбор задач

1. Разгон автомобиля

Условие. Автомобиль начинает движение со скоростью 5 м/с и движется с постоянным ускорением 2 м/с² в течение 6 с. Нужно найти конечную скорость и перемещение. Все данные уже выражены в единицах СИ.

1. Для скорости используем v = v₀ + at, потому что известны начальная скорость, ускорение и время.
2. Подставляем значения: v = 5 + 2 · 6 = 17 м/с.
3. Перемещение находим по формуле s = v₀t + at²/2: s = 5 · 6 + 2 · 6²/2 = 30 + 36 = 66 м.

Ответ: конечная скорость равна 17 м/с, перемещение — 66 м.

2. Торможение поезда

Условие. Поезд движется со скоростью 20 м/с и равномерно тормозит с ускорением −0,5 м/с². Найдём время остановки и тормозной путь, считая направление начального движения положительным.

1. В момент остановки v = 0, поэтому из 0 = v₀ + at получаем t = −v₀/a.
2. Подставляем числа: t = −20/(−0,5) = 40 с.
3. Для пути до остановки используем s = v₀t + at²/2: s = 20 · 40 − 0,5 · 40²/2 = 800 − 400 = 400 м.

Ответ: поезд остановится через 40 с, его тормозной путь равен 400 м.

3. Перемещения за соседние секунды

Условие. За первую секунду тело прошло 3 м, а за следующую секунду — 5 м. Движение равноускоренное и направлено вдоль оси. Обозначим начальную скорость v₀ и ускорение a.

1. Перемещение за первую секунду: s₁ = v₀ + a/2 = 3.
2. За первые две секунды тело прошло s(2) = 2v₀ + 2a. Значит, за вторую секунду s₂ = s(2) − s(1) = v₀ + 3a/2 = 5.
3. Вычитаем первое равенство из второго: a = 2 м/с². Затем v₀ + 1 = 3, откуда v₀ = 2 м/с.

Ответ: начальная скорость равна 2 м/с, ускорение — 2 м/с².

Типичные ошибки

Подставляют модуль ускорения вместо его проекции на выбранную ось. Так теряется информация о направлении: при торможении ускорение должно иметь знак, противоположный скорости. Проверьте себя по формуле v = v₀ + at: скорость должна уменьшаться при торможении.

Путают перемещение с пройденным путём, особенно когда тело меняет направление. Перемещение может быть отрицательным или нулевым, а путь всегда неотрицателен. Для проверки нарисуйте ось и отметьте начальную и конечную точки.

Используют формулу s = vt, не учитывая изменение скорости. Она верна для равномерного движения, а при ускорении нужно брать начальную скорость с добавкой at²/2 или среднюю скорость. Спросите себя, является ли скорость постоянной на всём интервале.

Смешивают единицы измерения: например, подставляют минуты при скорости в м/с и ускорении в м/с². Из-за этого результат получает неверный масштаб. Перед расчётом переведите время в секунды, а длину и скорость — в единицы СИ.

Связь с другими темами

До этой темы нужны координата, перемещение, скорость, ускорение и умение находить проекции векторов на ось. Без выбора оси трудно правильно определить знаки величин.

Формулы применяются к автомобилям, поездам, свободному падению и другим движениям с постоянным ускорением. В каждом случае нужно проверить, действительно ли ускорение можно считать постоянным.

Дальше эти зависимости пригодятся при изучении движения под действием силы и построении графиков. Через второй закон Ньютона можно будет объяснять, почему тело получает такое ускорение.

Что запомнить

• При равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Скорость изменяется по закону v = v₀ + at.
• Перемещение определяется формулой s = v₀t + at²/2.
• Средняя скорость при постоянном ускорении равна (v₀ + v)/2.
• График скорости имеет вид прямой, а график координаты — параболы.
• Знак проекции ускорения определяет, увеличивается или уменьшается проекция скорости.
• Все величины в формулах должны быть выражены в согласованных единицах СИ.