"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Скорость одного и того же тела может иметь разные значения для наблюдателей, движущихся относительно друг друга. Чтобы связать такие описания, используют сложение скоростей: скорость тела в одной системе отсчёта находят как векторную сумму его скорости в другой системе и скорости переноса системы. Это позволяет решать задачи о лодках, самолётах, течении рек и ветре, правильно определяя модуль и направление движения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Относительная скорость — скорость тела в выбранной системе отсчёта, с которой сравнивают его движение. Например, лодка может иметь одну скорость относительно воды и другую относительно берега. Это понятие помогает точно указать, кто именно и относительно чего измеряет движение.
Переносная скорость — скорость движения одной системы отсчёта относительно другой. Так, скорость течения воды переносит лодку вместе с потоком относительно берега. Она нужна, чтобы учесть собственное движение среды или платформы, связанной с наблюдателем.
Сложение скоростей — векторное нахождение скорости тела в одной системе отсчёта через его скорость в другой и скорость переноса. В простейшем виде это записывают так: v = v′ + u. Векторная запись показывает, что нужно учитывать не только модули скоростей, но и их направления.
Переход между системами отсчёта — описание координат и скорости одного тела с точки зрения разных наблюдателей. При таком переходе меняются координаты и скорость, но само движение тела остаётся тем же физическим процессом. Это позволяет выбрать наиболее удобную систему для решения задачи.
На плоскости тело за промежуток времени Δt совершает перемещение, которое является вектором. Движущаяся система отсчёта за тот же промежуток получает собственное перемещение, также имеющее направление. Поэтому полное перемещение складывается из перемещения тела внутри системы и перемещения самой системы: Δr = Δr′ + ΔR.
Разделим это равенство на один и тот же промежуток времени Δt. Получим v = v′ + u, где v — скорость тела в системе S, v′ — скорость тела в S′, а u = ΔR/Δt — скорость переноса. Именно одинаковый промежуток времени позволяет складывать соответствующие перемещения и затем получить формулу для скоростей.
При переходе между равномерно движущимися системами координаты изменяются на величину, пропорциональную времени. Скорость переноса u постоянна, поэтому при дифференцировании формулы v = v′ + u её производная равна нулю: a = a′. Следовательно, наблюдатели могут измерять разные скорости, но одинаковое ускорение тела.
Чтобы найти результат, можно работать с координатами или построить векторы последовательно, соединяя конец первого с началом второго. Если известны перпендикулярные проекции vx и vy, модуль равен √(vx² + vy²), а направление находят по отношению проекций, например tg α = vy/vx. При попутном движении модули складываются, при встречном — вычитаются, а при перпендикулярных скоростях используется теорема Пифагора.
| Величина | Система S | Система S′ | Связь между описаниями |
|---|---|---|---|
| Положение тела | радиус-вектор r | радиус-вектор r′ | r = r′ + R |
| Скорость тела | v | v′ | v = v′ + u |
| Ускорение тела | a | a′ | a = a′ при равномерном движении систем |
| Направление результирующей скорости | определяется суммой векторов | определяется вычитанием скорости системы | v′ = v − u |
Сначала определите, какая система считается исходной, а какая движется относительно неё, и задайте направление вектора u. Затем используйте строку таблицы для нужной величины. Если известна скорость в S и требуется скорость в S′, скорость переноса вычитают векторно, а не просто из числового значения.
Формулы справедливы для равномерного движения систем отсчёта, когда u постоянно. Радиус-вектор R задаёт положение начала S′ относительно начала S, поэтому его изменение связано со скоростью переноса.
Лодка движется относительно воды со скоростью 3 м/с по течению, а скорость течения равна 2 м/с. Требуется найти скорость лодки относительно берега.
Ответ: скорость лодки относительно берега равна 5 м/с по течению.
Самолёт летит относительно воздуха на север со скоростью 200 м/с, ветер дует на восток со скоростью 50 м/с. Нужно найти скорость самолёта относительно земли и её направление.
Ответ: самолёт движется со скоростью примерно 206 м/с, отклоняясь на 14° к востоку от направления на север.
Катер пересекает реку шириной 120 м и должен попасть в точку прямо напротив места отправления. Пусть его скорость относительно воды равна v, а скорость течения — u.
Ответ: катер направляют против течения под углом α = arcsin(u/v), а время переправы находят по формуле t = 120/(v cos α).
Складывают модули без направлений. Так поступают, когда забывают, что скорость — вектор. Нарисуйте стрелки или запишите проекции: при противоположных направлениях результат не равен сумме модулей.
Путают скорость относительно среды со скоростью относительно берега. Скорость лодки относительно воды не учитывает течение, а скорость самолёта относительно воздуха не учитывает ветер. Проверьте, относительно какого объекта дана каждая величина.
Неверно выбирают знак при переходе между системами. Ошибка появляется, если направление движения системы не связано с выбранными осями. Сначала запишите v = v′ + u, изобразите u, а затем выразите неизвестный вектор как v′ = v − u.
Применяют теорему Пифагора к непрямым углам. Пифагор работает только для перпендикулярных составляющих. Если угол другой, разложите векторы на проекции или используйте геометрическое правило сложения.
Для этой темы нужны понятия системы отсчёта, вектора скорости, проекций вектора и правила сложения векторов. Она подготавливает изучение относительности механического движения и преобразований Галилея. Те же методы применяются в задачах о лодках, самолётах, поездах, эскалаторах и течении рек.
Почему скорости нельзя складывать как обычные числа?
Скорость имеет не только числовое значение, но и направление, поэтому является вектором. При движении на плоскости направления нужно учитывать: векторы складывают геометрически или по координатам.
Как понять, какую скорость нужно прибавлять, а какую вычитать?
Сначала выберите систему отсчёта и положительные направления осей. При переходе от S′ к S используют v = v′ + u, а при переходе обратно — v′ = v − u, где u — скорость системы S′ относительно S.
Почему скорость зависит от системы отсчёта, а ускорение при таком переходе не меняется?
За одинаковый промежуток времени разные наблюдатели измеряют разные перемещения, поэтому получают разные скорости. При равномерном движении систем их относительная скорость постоянна, её производная по времени равна нулю, и ускорение остаётся тем же.
Как найти направление движения лодки или самолёта при наличии течения или ветра?
Изобразите скорость тела относительно среды и скорость среды относительно земли как векторы. Их сумма даст скорость относительно земли, а угол направления можно найти по проекциям и тригонометрическим отношениям.
Что делать, если скорости направлены под углом, а не вдоль одной прямой?
Разложите каждый вектор на составляющие по выбранным осям, сложите соответствующие проекции, а затем найдите модуль и направление результирующего вектора. Теорему Пифагора применяйте только к перпендикулярным составляющим.
§ 9. Сложение скоростей и переход в другую систему отсчёта при движении на плоскости
