"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Равномерное движение по окружности — это движение тела по круговой траектории, при котором модуль скорости не меняется, но её направление постоянно поворачивается. Поэтому тело движется с ускорением, направленным к центру окружности. Параграф помогает связать между собой радиус, период, частоту, угловую и линейную скорости, а также научиться находить центростремительное ускорение в задачах о вращении, поворотах автомобилей и движении спутников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное движение по окружности — движение по круговой траектории с постоянным модулем скорости. Направление скорости при этом всё время меняется, поэтому тело не движется прямолинейно. Понятие нужно, чтобы описывать вращение колёс, дисков и движение тел по закруглённым участкам пути.
Период обращения — время одного полного оборота тела по окружности; он обозначается T. Чем больше период, тем дольше тело проходит один и тот же круг. Эта величина позволяет связать движение с длиной окружности и найти скорость.
Частота обращения — число полных оборотов за единицу времени; обозначается ν. Она показывает, насколько быстро повторяется вращение, и измеряется в герцах, то есть в оборотах за секунду. По частоте удобно определять период и наоборот.
Угловая скорость — отношение угла поворота радиус-вектора ко времени; обозначается ω. Радиус-вектор соединяет центр окружности с движущейся точкой, а угловая скорость показывает, как быстро он поворачивается. В СИ угловую скорость измеряют в радианах в секунду.
При равномерном движении по окружности тело за равные промежутки времени проходит равные дуги. Поэтому числовое значение, или модуль, скорости остаётся постоянным. Однако в каждой точке окружности тело движется по новой касательной, и направление вектора скорости непрерывно изменяется.
Если за время t тело совершило N полных оборотов, то период одного оборота равен T = t/N. Частота показывает число оборотов за то же время: ν = N/t. Перемножив эти выражения, получаем νT = 1, откуда следует ν = 1/T: чем меньше время одного оборота, тем больше оборотов за секунду.
За один полный оборот радиус-вектор возвращается в исходное положение, поворачиваясь на полный угол 2π радиан. Угловая скорость равна отношению этого угла к времени поворота, то есть ω = 2π/T. Так как 1/T = ν, эту же зависимость можно записать как ω = 2πν.
За один оборот тело проходит длину окружности 2πR, а затрачивает на это время T. Деление пути на время даёт линейную скорость: v = 2πR/T. Подставляя ω = 2π/T, получаем удобную связь v = ωR: при одинаковой угловой скорости точки дальше от оси движутся быстрее.
Ускорение появляется не только при изменении модуля скорости, но и при изменении её направления. Для движения по окружности изменение вектора скорости направлено к центру, поэтому ускорение называют центростремительным. Анализ двух близких касательных скоростей даёт a = v²/R, а после подстановки v = ωR получаем a = ω²R.
В таблице собраны основные обозначения, формулы и единицы СИ. Сначала определите известные величины, затем выберите формулу, связывающую их с искомой. Если дана частота, можно заменить 1/T на ν, а перед вычислением проверьте, что радиус указан в метрах.
| Величина | Обозначение | Формула | Единица СИ |
|---|---|---|---|
| Радиус окружности | R | R | м |
| Период обращения | T | T = 1/ν | с |
| Частота обращения | ν | ν = 1/T | Гц |
| Угловая скорость | ω | ω = 2π/T = 2πν | рад/с |
| Линейная скорость | v | v = 2πR/T = ωR | м/с |
| Центростремительное ускорение | a | a = v²/R = ω²R | м/с² |
Тело движется по окружности радиусом 2 м и совершает 5 оборотов за 10 с. Требуется найти период, частоту и линейную скорость. Сначала определим характеристики одного оборота, затем найдём путь, пройденный за секунду.
Ответ: T = 2 с, ν = 0,5 Гц, v = 2π м/с ≈ 6,28 м/с. Такой порядок удобен, потому что число оборотов сразу задаёт период и частоту.
Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 50 м со скоростью 10 м/с. Нужно найти центростремительное ускорение и сравнить его с ускорением свободного падения g ≈ 9,8 м/с². Используем скорость и радиус, поэтому период находить не требуется.
Ответ: a = 2 м/с²; это около 0,20g. Увеличение скорости особенно сильно повышает ускорение, поскольку скорость входит в формулу во второй степени.
Диск вращается с угловой скоростью 20 рад/с. Найдём линейные скорости и центростремительные ускорения точек на расстояниях 0,05 м и 0,15 м от оси. Для обеих точек угловая скорость одинакова, но расстояния до оси различаются.
Ответ: для первой точки v₁ = 1 м/с, a₁ = 20 м/с²; для второй v₂ = 3 м/с, a₂ = 60 м/с². Точки одного диска вращаются с общей угловой скоростью, но имеют разные линейные скорости и ускорения.
Считать, что при постоянном модуле скорости ускорение равно нулю. Так ошибаются, потому что связывают ускорение только с изменением числового значения скорости. Проверьте направление вектора: если оно меняется, ускорение существует.
Направлять центростремительное ускорение по касательной. По касательной направлена скорость, а ускорение при движении по окружности направлено радиально к центру. Самопроверка проста: вектор ускорения должен стремиться изменить направление скорости к внутренней стороне поворота.
Путать период и частоту, записывая ν = T вместо ν = 1/T. Причина ошибки — обе величины описывают одно вращение, но являются взаимно обратными. Проверьте единицы: период измеряется в секундах, частота — в герцах, или с⁻¹.
Подставлять диаметр вместо радиуса в формулах v = ωR и a = v²/R. Диаметр вдвое больше радиуса, поэтому скорость получится вдвое неверной, а при использовании его в квадрате ошибка может стать четырёхкратной. Перед расчётом обозначьте радиус как половину диаметра.
Для изучения движения по окружности нужны длина окружности, радианная мера угла, понятия скорости и ускорения, а также векторное сложение. Эти знания помогают переходить от геометрии траектории к формулам движения.
Тема служит основой для изучения движения под действием сил, вращения твёрдого тела, движения спутников и общего криволинейного движения. Позже центростремительное ускорение связывают с силами, удерживающими тело на круговой траектории.
Почему движение называют равномерным, если направление скорости меняется?
Равномерным называют движение, при котором постоянен модуль скорости, то есть её числовое значение. Направление вектора скорости может изменяться, поэтому равномерное движение по окружности не является прямолинейным равномерным движением.
Может ли тело двигаться по окружности без ускорения?
Нет, если тело действительно движется по окружности с ненулевой скоростью. Даже при постоянном модуле скорости меняется её направление, а значит, появляется ускорение, направленное к центру.
Чем период отличается от частоты обращения?
Период T — это время одного полного оборота. Частота ν показывает, сколько оборотов тело совершает за единицу времени; поэтому ν = 1/T.
Почему центростремительное ускорение направлено к центру окружности?
Вектор скорости направлен по касательной, а при малом повороте тела новый вектор скорости отличается от прежнего в сторону центра. Поэтому изменение скорости, а вместе с ним и ускорение, направлено радиально к центру окружности.
Как изменятся скорость и ускорение точки, если увеличить радиус при неизменной угловой скорости?
При постоянной угловой скорости линейная скорость возрастёт пропорционально радиусу: v = ωR. Центростремительное ускорение тоже возрастёт пропорционально радиусу: a = ω²R.
§ 8. Равномерное движение по окружности
