"Физика. Базовый и профильный уровни", Тихомирова С.А., Яворский Б.М.
При равномерном движении по окружности тело проходит равные дуги за равные промежутки времени. Модуль его скорости не меняется, но направление постоянно поворачивается, поэтому движение происходит с ускорением, направленным к центру окружности. Описать его помогают период и частота обращения, угловая и линейная скорости. Эти величины связаны простыми формулами и позволяют находить, например, скорость точки колеса или ускорение автомобиля на повороте.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное движение по окружности — движение по окружности с постоянным модулем скорости. Скорость здесь векторная величина: даже если тело движется одинаково быстро, направление скорости меняется вдоль траектории. Поэтому «равномерное» означает постоянство модуля, а не всего вектора. Это различие нужно, чтобы не принять такое движение за движение без ускорения.
Период обращения T — время одного полного оборота. Его единица СИ — секунда (с). Если за время t тело сделало N одинаковых оборотов, один оборот занимает T = t/N. Период позволяет описать, насколько быстро повторяется движение.
Частота обращения ν — число оборотов за единицу времени. Единица СИ — герц (Гц), причём 1 Гц соответствует одному обороту за секунду. Частота и период взаимно обратны: ν = 1/T. Частота удобна, когда известно число оборотов за секунду.
Угловая скорость ω — отношение угла поворота радиус-вектора ко времени. Она показывает быстроту вращения и измеряется в радианах в секунду (рад/с). За полный оборот радиус-вектор поворачивается на 2π радиан, поэтому ω = 2π/T. Эта величина описывает вращение независимо от расстояния точки до центра.
При движении по окружности модуль скорости может оставаться постоянным, потому что за равные промежутки времени тело проходит равные дуги. Но в каждой точке окружности касательная направлена по-своему, а скорость направлена вдоль касательной. Поэтому при переходе от точки к точке направление вектора скорости меняется. Именно изменение вектора, а не только его модуля, означает наличие ускорения.
Угол поворота радиус-вектора показывает, насколько повернулось положение тела вокруг центра. За один период совершается полный оборот, то есть поворот на 2π радиан. Если разделить этот угол на время T, получится угловая скорость ω = 2π/T. Поскольку ν = 1/T, ту же зависимость можно записать как ω = 2πν. Чем чаще тело делает обороты, тем быстрее поворачивается радиус-вектор.
За один оборот тело проходит длину окружности, равную 2πr, где r — радиус траектории. Линейная скорость равна пройденному пути, делённому на время, поэтому v = 2πr/T. Подставив ν = 1/T, получаем v = 2πrν. Следовательно, при одинаковом периоде точка на большей окружности движется быстрее: за тот же срок она проходит более длинный путь.
Линейная скорость показывает движение вдоль траектории и в каждой точке направлена по касательной к окружности. Угловая скорость описывает поворот радиус-вектора и не зависит от того, насколько далеко от центра находится точка. За один и тот же промежуток времени радиус-векторы всех точек вращающегося тела поворачиваются на одинаковый угол. Их скорости связаны формулой v = ωr: при одинаковой ω линейная скорость возрастает с радиусом.
Изменение направления скорости требует ускорения, даже если её модуль неизменен. При равномерном движении по окружности ускорение направлено к центру; его называют центростремительным. Его модуль можно найти по линейной скорости: a = v²/r. С учётом v = ωr получается равносильная формула a = ω²r. Чем больше скорость, тем сильнее нужно менять её направление; при большем радиусе для той же линейной скорости поворот происходит плавнее.
| Величина | Обозначение и определение | Формула связи | Единица СИ |
|---|---|---|---|
| Период обращения | T — время одного оборота | T = 1/ν | с |
| Частота обращения | ν — число оборотов за секунду | ν = 1/T | Гц (с⁻¹) |
| Угловая скорость | ω — угол поворота за единицу времени | ω = 2π/T = 2πν | рад/с |
| Линейная скорость | v — путь вдоль окружности за единицу времени | v = ωr = 2πr/T | м/с |
| Центростремительное ускорение | a — ускорение, направленное к центру | a = v²/r = ω²r | м/с² |
Выбирай формулу по тем величинам, которые известны в условии, и подставляй значения в единицах СИ. Таблица помогает увидеть, какие характеристики описывают вращение в целом, а какие зависят от радиуса. После вычислений проверь и единицу измерения, и направление ускорения.
Задача 1. Колесо радиусом 0,30 м делает 120 оборотов за минуту. Найдём период и частоту вращения. Сначала переведём обороты в число оборотов за секунду, поскольку герц означает один оборот в секунду. Радиус для вычисления периода и частоты не понадобится.
Ответ: частота вращения равна 2 Гц, период — 0,50 с. Проверка: за 0,50 с происходит половина оборота, значит за секунду — два. Частота и период получились взаимно обратными.
Задача 2. Точка на краю диска радиусом 0,20 м совершает один оборот за 0,50 с. Найдём её угловую и линейную скорости. Период уже дан в секундах, поэтому сначала определим угол поворота за секунду. Затем используем радиус, чтобы перейти от угловой скорости к линейной.
Ответ: ω ≈ 12,6 рад/с, v ≈ 2,51 м/с. Проверка другим способом: за оборот точка проходит 2πr, поэтому v = 2π · 0,20/0,50 ≈ 2,51 м/с. Оба способа дают одинаковый результат.
Задача 3. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 50 м со скоростью 15 м/с. Найдём центростремительное ускорение и сравним его с ускорением свободного падения g ≈ 9,8 м/с². Для модуля ускорения достаточно знать скорость и радиус. Направление определим по характеру движения по дуге.
Ответ: ускорение автомобиля по модулю равно 4,5 м/с², то есть примерно 0,46g. Вектор ускорения направлен к центру закругления дороги, а не вдоль движения. Единица м/с² получается при делении (м/с)² на метр.
Первая ошибка — считать скорость постоянной, потому что её модуль не меняется. Так смешивают скалярное значение скорости и вектор, у которого есть направление. При движении по окружности касательная поворачивается, поэтому вектор скорости меняется. Проверка: сравни направления скорости в двух разных точках траектории.
Вторая ошибка — путать период и частоту. Период измеряет время одного оборота в секундах, частота — число оборотов за секунду в герцах; путаница возникает из-за того, что они описывают одно и то же повторение с разных сторон. Проверка: произведение Tν должно равняться единице, например 0,5 с и 2 Гц.
Третья ошибка — подставлять частоту вместо периода или наоборот. Это часто происходит, когда формулу выбирают по внешнему виду, не проверяя смысл величин. Проверка размерности помогает обнаружить подмену: ν измеряется в с⁻¹, а T — в секундах; при необходимости сначала найди одну величину через другую.
Четвёртая ошибка — направлять центростремительное ускорение по касательной или вдоль движения. Касательная задаёт направление скорости, но ускорение при равномерном движении поворачивает её к центру. Ошибку допускают, представляя ускорение как «подталкивание» вперёд. Проверка: нарисуй окружность и стрелку от точки движения к её центру.
Для изучения движения по окружности нужны знания о длине окружности и радиусе, векторной скорости и ускорении, а также перевод единиц времени. Эти понятия позволяют перейти от числа оборотов к пути и скорости. Связь линейной и угловой скоростей пригодится при рассмотрении вращательного движения твёрдого тела: разные точки тела могут иметь разные линейные скорости. Центростремительное ускорение используют при изучении законов Ньютона, движения спутников и транспорта на поворотах.
Почему движение называют равномерным, если скорость меняет направление?
Равномерным называют движение, при котором постоянен модуль скорости: тело проходит равные дуги за равные промежутки времени. Направление вектора скорости меняется, поэтому сама скорость как вектор не постоянна.
Чем период отличается от частоты обращения?
Период T — время одного полного оборота, он измеряется в секундах. Частота ν показывает, сколько оборотов совершается за секунду, и измеряется в герцах; величины взаимно обратны: ν = 1/T.
Почему при полном обороте радиус-вектор поворачивается на 2π радиан?
Радиус-вектор за полный оборот совершает один полный поворот, то есть проходит угол в 360°. В радианах полный угол равен 2π, поэтому за время периода его угловое перемещение составляет 2π радиан.
Как связаны линейная скорость и угловая скорость?
Линейная скорость показывает, как быстро тело движется по дуге, а угловая — как быстро поворачивается радиус-вектор. Для окружности радиуса r они связаны формулой v = ωr.
Почему ускорение при движении по окружности направлено к её центру?
Ускорение возникает, потому что меняется направление вектора скорости. При равномерном движении по окружности изменение скорости направлено внутрь окружности, поэтому и ускорение направлено к её центру.
§ 10. Равномерное движение по окружности
