"Физика. Базовый и профильный уровни", Тихомирова С.А., Яворский Б.М.
Центростремительное ускорение возникает при движении тела по окружности и показывает, как изменяется направление его скорости. Даже при постоянном модуле скорости тело ускоряется, потому что скорость — векторная величина. Ускорение направлено к центру окружности, а его модуль можно вычислить по формулам a = v²/r, a = ω²r или a = 4π²r/T². Эти зависимости применяют при расчёте движения транспорта, вращения деталей, планет и спутников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центростремительное ускорение — ускорение тела при движении по окружности. Оно направлено от тела к центру окружности и обозначается буквой a. Эта величина нужна, чтобы описывать изменение направления скорости даже тогда, когда её модуль остаётся постоянным.
Период обращения — время одного полного оборота тела по окружности. Его обозначают буквой T и измеряют в секундах (с). Зная период, можно определить, насколько быстро тело вращается, и найти его линейную и угловую скорости.
Частота вращения — число полных оборотов за единицу времени. Она обозначается греческой буквой ν и измеряется в герцах (Гц), причём 1 Гц = 1 оборот в секунду. Период и частота связаны соотношением ν = 1/T: чем меньше время оборота, тем больше частота.
Угловая скорость — быстрота изменения угла поворота радиус-вектора, соединяющего центр окружности с телом. Она обозначается буквой ω и для равномерного движения равна ω = 2π/T, измеряется в рад/с. Эта величина удобна при описании вращения, потому что один полный оборот соответствует углу 2π радиан.
При движении по окружности модуль скорости может оставаться постоянным, но сама скорость не будет постоянной. Скорость — вектор, поэтому для её неизменности должны сохраняться и числовое значение, и направление. В каждой новой точке окружности направление скорости меняется, следовательно, появляется ускорение.
Рассмотрим очень малый промежуток времени. Векторы скорости в начале и в конце этого промежутка почти равны по модулю, но немного повернуты относительно друг друга. Вектор изменения скорости получают вычитанием начальной скорости из конечной, и геометрия показывает, что он направлен внутрь окружности. Поэтому ускорение, равное изменению скорости за время, также направлено к центру.
Мгновенная скорость тела направлена по касательной к окружности. Радиус, проведённый к точке движения, перпендикулярен касательной, поэтому центростремительное ускорение перпендикулярно скорости. Такое ускорение не увеличивает и не уменьшает модуль скорости, а только поворачивает её, заставляя тело следовать по кривой траектории.
За время, за которое тело проходит небольшую дугу, оно перемещается примерно так, как если бы двигалось по касательной. Из подобия треугольников, образованных радиусами и векторами скорости, получают отношение изменения скорости к самой скорости, равное отношению пройденной дуги к радиусу. После деления на время и использования v = l/t получается формула a = v²/r: при большей скорости ускорение растёт как квадрат скорости, а при большем радиусе уменьшается.
Связь линейной и угловой скоростей имеет вид v = ωr. Если подставить её в a = v²/r, получится a = (ωr)²/r = ω²r. Так как ω = 2π/T, ещё одна равносильная запись имеет вид a = 4π²r/T². Все эти формулы описывают одно и то же ускорение, но удобны при разных известных величинах.
| Величина | Обозначение | Формула | Направление или единица |
|---|---|---|---|
| Центростремительное ускорение | a | a = v²/r = ω²r | К центру окружности; м/с² |
| Линейная скорость | v | v = ωr | По касательной; м/с |
| Угловая скорость | ω | ω = 2π/T = 2πν | Рад/с |
| Период обращения | T | T = 1/ν = 2π/ω | Время одного оборота; с |
| Частота вращения | ν | ν = 1/T | Оборотов в секунду; Гц |
Таблицей удобно пользоваться как кратким справочником: сначала найдите известные величины, затем выберите формулу, в которой они присутствуют. Направление скорости и ускорения нужно определять отдельно, потому что формулы обычно дают только модуль. Перед вычислением проверьте, что радиус выражен в метрах, время — в секундах, а скорость — в метрах в секунду.
Тело движется по окружности радиусом 2 м со скоростью 4 м/с. Требуется найти центростремительное ускорение. Из условия известны линейная скорость и радиус, поэтому наиболее короткий путь — применить формулу a = v²/r.
Ответ: центростремительное ускорение равно 8 м/с² и направлено к центру окружности.
Колесо радиусом 0,3 м совершает 2 оборота в секунду. Нужно найти ускорение точки на ободе. Частота уже дана, поэтому сначала выразим через неё угловую скорость: ω = 2πν.
Ответ: ускорение точки на ободе равно 4,8π² м/с², или примерно 47,4 м/с², и направлено к оси колеса.
Автомобиль проходит поворот радиусом 50 м с центростремительным ускорением 5 м/с². Сначала найдём скорость из основной формулы, а затем определим время одного полного оборота по дуге окружности. Такой порядок позволяет использовать данные без поиска частоты.
Ответ: скорость автомобиля примерно 15,8 м/с, а период обращения по окружности — около 19,9 с.
Отсутствие ускорения при постоянной скорости. Ошибка возникает, если под скоростью понимают только её числовое значение и забывают о направлении вектора. Проверьте себя: если направление скорости меняется, ускорение есть.
Ускорение по касательной. Касательная показывает направление скорости, а не центростремительного ускорения. Проведите радиус к точке движения: ускорение направлено вдоль него к центру и перпендикулярно касательной.
Формула a = v²r вместо a = v²/r. Такую запись иногда получают, неверно перенося радиус или путая зависимость величин. Проверка размерности сразу выявляет ошибку: правильный результат должен иметь единицу м/с².
Отсутствие множителя 2π. Частоту нельзя подставлять вместо угловой скорости, потому что один оборот равен 2π радиан. Сначала запишите ω = 2πν, а уже затем используйте формулу a = ω²r.
Для понимания темы нужны представления о векторах скорости и ускорения, а также связь скорости с перемещением. При решении задач пригодятся формулы периода, частоты и длины окружности. Центростремительное ускорение связывает кинематику с практическими задачами о поворотах транспорта, вращении механизмов, движении планет и спутников.
Почему тело ускоряется, если модуль его скорости не меняется?
Скорость является векторной величиной: у неё есть не только модуль, но и направление. При движении по окружности направление скорости постоянно меняется, поэтому меняется и сама скорость, а значит, возникает ускорение.
Куда направлено центростремительное ускорение?
Оно направлено от тела к центру окружности. В любой точке траектории это направление перпендикулярно мгновенной скорости, которая направлена по касательной.
Почему центростремительное ускорение не направлено по касательной?
Касательная показывает направление мгновенной скорости, а центростремительное ускорение изменяет именно направление этой скорости, поворачивая её к центру. Поэтому ускорение перпендикулярно касательной, а не совпадает с ней.
Как найти центростремительное ускорение через период обращения?
Используют формулу a = 4π²r/T². Нужно знать радиус окружности r и время одного полного оборота T.
Как изменится центростремительное ускорение, если скорость увеличить вдвое?
При неизменном радиусе ускорение увеличится в четыре раза, поскольку a = v²/r. Увеличение скорости в 2 раза даёт множитель 2² = 4.
§ 11. Центростремительное ускорение
