"Физика", Изергин Э.Т.
Центростремительное ускорение описывает движение тела по окружности, даже если скорость по модулю постоянна. Оно возникает потому, что тело всё время меняет направление движения, и направлено к центру траектории. Главные формулы темы: a = v²/r и a = 4π²r/T². С их помощью можно найти ускорение по скорости, радиусу окружности или периоду обращения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное движение по окружности — движение, при котором тело проходит окружность с постоянным модулем скорости. Число, показывающее быстроту движения, не меняется, но направление скорости всё время поворачивается. Это понятие нужно, чтобы отличать постоянную быстроту от неизменной скорости-вектора.
Центростремительное ускорение — ускорение тела при движении по окружности, направленное к её центру. Оно показывает, как быстро изменяется направление скорости. Обозначают ускорение буквой a, а его единица измерения — метр в секунду в квадрате (м/с²).
Период обращения — время, за которое тело совершает один полный оборот; его обозначают буквой T. Период измеряют в секундах. Зная T и радиус окружности, можно определить скорость тела, а затем и его ускорение.
Радиус окружности — расстояние от тела до центра траектории, обозначаемое буквой r. Он измеряется в метрах. Радиус задаёт размер окружности и влияет на величину ускорения: при той же скорости на большой окружности оно меньше.
При движении по окружности скорость меняет направление, даже если её модуль остаётся постоянным. Скорость является векторной величиной, поэтому изменение направления означает изменение самой скорости. Раз скорость изменилась, у тела есть ускорение, хотя показание спидометра может оставаться одним и тем же.
В соседних точках окружности векторы скорости направлены по касательным к траектории. Если перенести их начала в одну точку, разность конечного и начального векторов скорости покажет изменение скорости. Для близких точек это изменение направлено внутрь окружности, то есть к её центру, поэтому такое ускорение называют центростремительным.
Рассмотрим малый промежуток времени Δt, за который тело прошло небольшой участок окружности. За это время направление вектора скорости изменилось на небольшой угол, а длина дуги примерно равна vΔt. Сравнение подобных треугольников для радиуса и изменения скорости даёт Δv/v ≈ vΔt/r, поэтому после деления на Δt получается a = Δv/Δt = v²/r.
За один полный оборот тело проходит путь 2πr, поэтому его скорость равна v = 2πr/T. Подставим это выражение в основную формулу: a = (2πr/T)²/r. После сокращения радиуса получаем a = 4π²r/T², что позволяет находить ускорение, если известны радиус и период.
Формула a = v²/r показывает две зависимости. При неизменном радиусе ускорение растёт как квадрат скорости: увеличение скорости в 3 раза увеличивает ускорение в 9 раз. При неизменной скорости увеличение радиуса делает поворот траектории более плавным, поэтому ускорение уменьшается обратно пропорционально радиусу.
| Величина или связь | Обозначение | Формула или направление | Единица измерения |
|---|---|---|---|
| Центростремительное ускорение | a | Направлено к центру окружности | м/с² |
| Скорость при равномерном движении по окружности | v | v = 2πr/T | м/с |
| Радиус окружности | r | Расстояние до центра траектории | м |
| Период обращения | T | Время одного полного оборота | с |
| Связь ускорения со скоростью и радиусом | a, v, r | a = v²/r | м/с² |
| Связь ускорения с периодом и радиусом | a, T, r | a = 4π²r/T² | м/с² |
Сначала определите, какие величины известны в условии: скорость, радиус или период. Если дана скорость, удобнее использовать a = v²/r, а если период — a = 4π²r/T². В ответе обязательно указывайте единицу ускорения м/с² и помните, что направление ускорения — к центру окружности.
Тело равномерно движется по окружности радиусом 2 м со скоростью 4 м/с. Требуется найти центростремительное ускорение. Известны v и r, поэтому формула через период здесь не нужна.
Ответ: центростремительное ускорение равно 8 м/с² и направлено к центру окружности.
Колесо радиусом 0,5 м совершает один оборот за 2 с. Нужно найти ускорение точки на ободе. Поскольку дан период обращения, используем формулу a = 4π²r/T².
Ответ: ускорение точки на ободе примерно равно 4,9 м/с² и направлено к центру колеса.
Автомобиль проходит поворот радиусом 50 м. Скорость увеличивается с 10 до 20 м/с, а радиус остаётся прежним. Нужно сравнить ускорения, поэтому можно не вычислять их полностью, а использовать зависимость от квадрата скорости.
Ответ: центростремительное ускорение увеличится в 4 раза.
Ошибка: считать, что при постоянном модуле скорости ускорения нет. Так рассуждают, если связывают ускорение только с изменением числа на спидометре. Проверьте направление вектора скорости: на окружности оно меняется, значит, меняется и скорость.
Ошибка: направлять ускорение по касательной. Касательная показывает направление мгновенной скорости, поэтому эти направления легко перепутать. Проверьте себя: центростремительное ускорение должно быть направлено от тела к центру окружности.
Ошибка: использовать формулу a = v/r. В ней пропущена одна скорость, поэтому размерность получается 1/с, а не м/с². Правильная формула a = v²/r; проверка единиц помогает обнаружить ошибку.
Ошибка: считать, что при увеличении радиуса ускорение растёт. Такое предположение возникает из-за мысли, что большая окружность требует большего движения. При той же скорости формула a = v²/r показывает обратное: увеличение радиуса уменьшает ускорение.
До изучения центростремительного ускорения нужно понимать, что такое вектор скорости и ускорение. Также важно уметь находить скорость равномерного движения, поскольку она входит в основную формулу a = v²/r. Эти знания объясняют, почему постоянная быстрота не означает отсутствия ускорения.
Тема понадобится при изучении движения тел по криволинейной траектории. Она также связана с силой, вызывающей движение по окружности: именно направленное к центру воздействие изменяет направление скорости тела.
Почему тело ускоряется, если его скорость по модулю постоянна?
Скорость — это вектор, поэтому у неё есть не только числовое значение, но и направление. При движении по окружности направление скорости постоянно меняется, значит, меняется и сама скорость, а тело имеет ускорение.
Куда направлено центростремительное ускорение?
Центростремительное ускорение направлено от тела к центру окружности. Вектор скорости в этот момент направлен по касательной и перпендикулярен ускорению.
Почему ускорение зависит от квадрата скорости?
За одно и то же время при большей скорости направление движения изменяется сильнее. Из геометрии изменения вектора скорости получается зависимость a = v²/r, поэтому увеличение скорости в 2 раза увеличивает ускорение в 4 раза.
Как найти центростремительное ускорение, если известен период обращения?
Сначала используют скорость движения по окружности: v = 2πr/T. После подстановки этой скорости в формулу a = v²/r получают a = 4π²r/T².
Что произойдёт с ускорением при увеличении радиуса окружности?
При неизменной скорости центростремительное ускорение уменьшится, потому что a = v²/r. Например, увеличение радиуса в 2 раза уменьшает ускорение в 2 раза.
§ 21. Центростремительное ускорение
