"Физика", Изергин Э.Т.
Равномерное движение по окружности — это движение тела по круговой траектории, при котором скорость постоянна по модулю, но всё время меняет направление. Поэтому такое движение является ускоренным. Для его описания используют радиус окружности, период и частоту обращения, линейную скорость и центростремительное ускорение. Эти величины помогают рассчитывать движение колёс, деталей механизмов, спутников и других вращающихся объектов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное движение по окружности — движение по окружности с постоянной по модулю скоростью. Тело проходит за равные промежутки времени равные дуги, но направление его движения непрерывно меняется. Это понятие нужно, чтобы отличать постоянство числового значения скорости от постоянства всего вектора скорости.
Период обращения — время одного полного оборота; его обозначают буквой T. Период измеряют в секундах и находят как время нескольких оборотов, делённое на их число. Он показывает, насколько быстро тело повторяет своё положение на окружности.
Частота обращения — число полных оборотов за единицу времени, обозначение ν. Обычно частоту измеряют в с⁻¹, или герцах: 1 Гц означает один оборот за секунду. Частота удобна, когда нужно узнать, сколько циклов происходит за заданное время.
Центростремительное ускорение — ускорение, направленное от движущегося тела к центру окружности. Оно не обязательно увеличивает модуль скорости, но изменяет направление вектора скорости. Эта величина показывает, насколько быстро траектория поворачивает тело к центру.
При движении по окружности тело каждый момент имеет скорость, направленную по касательной к траектории. За малое время оно переходит на другой участок окружности, поэтому касательная поворачивается и направление скорости изменяется. Модуль скорости может оставаться постоянным, но изменение направления уже означает наличие ускорения.
За один оборот тело проходит длину окружности, равную 2πR. Если этот путь пройден за время T, то скорость равна пути, делённому на время: v = 2πR/T. Формула показывает, что при большем радиусе и том же периоде тело проходит за оборот больший путь, поэтому его линейная скорость больше.
За время T совершается один оборот, значит, за одну секунду тело выполняет величину, обратную этому времени: ν = 1/T. Отсюда период можно найти по формуле T = 1/ν. Чем чаще происходят обороты, тем меньше времени занимает один оборот.
Скорость направлена по касательной, поэтому для продолжения движения по окружности тело должно постоянно менять направление. Изменение скорости происходит в сторону центра: именно туда направлена сила, заставляющая траекторию изгибаться. При вычислении изменения скорости за малый промежуток времени получается формула центростремительного ускорения a = v²/R.
При постоянном периоде увеличение радиуса увеличивает линейную скорость прямо пропорционально радиусу. При неизменном радиусе увеличение скорости усиливает ускорение особенно быстро, потому что в формуле стоит квадрат скорости. Уменьшение радиуса при той же скорости, наоборот, увеличивает ускорение, а увеличение периода при том же радиусе уменьшает скорость.
| Величина | Обозначение | Формула | Единица измерения | Направление |
|---|---|---|---|---|
| Радиус окружности | R | R | м | От центра к точке окружности |
| Период обращения | T | T = 1/ν | с | Не имеет направления |
| Частота обращения | ν | ν = 1/T | с⁻¹, Гц | Не имеет направления |
| Линейная скорость | v | v = 2πR/T = 2πRν | м/с | По касательной |
| Центростремительное ускорение | a | a = v²/R | м/с² | К центру окружности |
Сначала определите, какие величины известны, а затем выберите формулу, связывающую их с искомой величиной. Следите за единицами: радиус должен быть выражен в метрах, а время — в секундах.
Направление нужно указывать только для векторных величин. Линейная скорость направлена по касательной, а центростремительное ускорение — к центру.
Задача 1. Тело движется по окружности радиусом 2 м и совершает один оборот за 4 с. Найдём линейную скорость. За один оборот тело проходит длину окружности, поэтому используем v = 2πR/T.
Ответ: линейная скорость равна π м/с, или примерно 3,14 м/с.
Задача 2. Колесо радиусом 0,3 м вращается с частотой 5 с⁻¹. Найдём скорость точки на ободе и период обращения. Частота уже показывает число оборотов за секунду, поэтому удобно применить v = 2πRν.
Ответ: скорость точки примерно 9,42 м/с, период обращения 0,2 с.
Задача 3. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 50 м со скоростью 10 м/с. Во сколько раз изменится ускорение при увеличении скорости до 20 м/с? Радиус не меняется, поэтому сравним квадраты скоростей в формуле a = v²/R.
Ответ: центростремительное ускорение увеличится в 4 раза, с 2 до 8 м/с².
Некоторые считают движение равномерным прямолинейным, потому что модуль скорости не изменяется. Ошибка возникает из-за смешения модуля скорости и её направления: на окружности направление постоянно поворачивается. Проверяйте себя вопросом: меняется ли вектор скорости, а не только его числовое значение?
Период иногда путают с частотой. Период — время одного оборота и измеряется в секундах, а частота — число оборотов за секунду и измеряется в с⁻¹. Для проверки вспомните обратные формулы ν = 1/T и T = 1/ν.
Нельзя подставлять в v = 2πR/T радиус в сантиметрах, а время — в минутах, если нужен ответ в м/с. Такие единицы не согласованы и дают неверный результат. Перед вычислением переведите длину в метры, а время — в секунды.
Центростремительное ускорение не направляют по касательной или наружу. Касательная задаёт направление мгновенной скорости, а ускорение изменяет это направление в сторону центра. Представьте, куда должна быть направлена «поворотная» причина движения, и проверьте ответ по формуле.
Для изучения движения по окружности нужны длина окружности, путь, время, скорость и ускорение, а также умение работать с единицами измерения. Формула длины окружности 2πR связывает геометрию с механикой. Знание обратных величин помогает понять связь периода и частоты.
Эти знания применяются при изучении вращения колёс и деталей механизмов. Они также нужны для описания движения спутников и других периодических процессов. В каждом случае важно учитывать радиус траектории, время оборота и изменение направления скорости.
Почему тело ускоряется, если его скорость по модулю не меняется?
Ускорение показывает изменение вектора скорости, а вектор имеет не только модуль, но и направление. При движении по окружности направление скорости меняется каждое мгновение, поэтому возникает ускорение.
Чем период отличается от частоты обращения?
Период T — это время одного полного оборота, его измеряют в секундах. Частота ν показывает, сколько оборотов совершается за секунду, поэтому измеряется в с⁻¹, или герцах.
Куда направлены скорость и центростремительное ускорение?
Мгновенная скорость направлена по касательной к окружности. Центростремительное ускорение направлено от тела к центру окружности.
Как изменится скорость при увеличении радиуса окружности?
Если период остаётся прежним, то из формулы v = 2πR/T следует: скорость увеличится во столько же раз, во сколько увеличился радиус. При неизменной частоте результат такой же: v = 2πRν.
Почему при увеличении скорости в два раза центростремительное ускорение возрастает в четыре раза?
Центростремительное ускорение пропорционально квадрату скорости: a = v²/R. Поэтому при замене v на 2v получаем a₁ = (2v)²/R = 4v²/R, то есть ускорение увеличивается в четыре раза.
§ 20. Равномерное движение по окружности
