§ 22. Свободные механические колебания

Определения и обозначения

Механическое колебание — периодически или почти периодически повторяющееся движение тела около положения равновесия. Положением равновесия называют состояние, в котором тело без внешнего воздействия не стремится двигаться в какую-либо сторону. Это определение помогает отличить колебание от движения в одном направлении: при колебании тело снова и снова проходит область равновесия.

Свободные колебания — колебания, происходящие после однократного отклонения системы под действием только внутренних сил. Например, если оттянуть груз на пружине и отпустить, дальнейшее движение поддерживают силы внутри системы, а не повторяющиеся толчки извне. Понятие нужно, чтобы отличать такие движения от вынужденных колебаний, которые вызываются внешним воздействием.

Амплитуда колебаний — наибольшее отклонение тела от положения равновесия; её обозначают A. Например, если груз поднимается на 4 см выше равновесия и опускается на 4 см ниже него, амплитуда равна 4 см. Она показывает размах движения относительно центра, а не расстояние между двумя крайними точками.

Период T — время одного полного колебания, а частота ν показывает число колебаний за единицу времени. Период измеряется в секундах, частота — в герцах: 1 Гц соответствует одному колебанию за секунду. Эти величины нужны, чтобы сравнивать быстроту колебаний; чем меньше период, тем больше частота.

Как это устроено

Когда тело смещают из положения равновесия, в системе возникает сила, направленная обратно к этому положению. У растянутой или сжатой пружины сила упругости стремится вернуть её к исходной длине, а у отклонённого маятника возвращающая роль связана с тяжестью. Но тело не останавливается точно в равновесии: по мере приближения к нему оно разгоняется, а значит, приобретает скорость. Из-за инерции тело проходит равновесие и движется дальше, пока возвращающая сила не затормозит его у противоположного крайнего положения.

В крайних положениях тело на мгновение останавливается, поэтому его кинетическая энергия — энергия движения — там минимальна. Зато при отклонении запасена потенциальная энергия: например, пружина деформирована, а маятник поднят выше нижней точки. Двигаясь к равновесию, тело теряет часть потенциальной энергии, но набирает скорость, и энергия становится кинетической. После прохождения равновесия движение замедляется, кинетическая энергия переходит обратно в потенциальную; в идеальной системе без трения общий запас механической энергии сохраняется.

Чтобы колебания начались, системе нужно сообщить энергию: отклонить тело от равновесия или толкнуть его. Если тело изначально находится в равновесии и покоится, силы уравновешены, а скорость равна нулю. Тогда ничто не заставляет его начать движение, поэтому оно останется в покое. Начальное отклонение создаёт условия для возвращающей силы, а толчок может сообщить скорость даже без заметного смещения.

Полное колебание определяют по повторению одного и того же состояния движения. Например, движение от одного крайнего положения к другому и обратно — один полный цикл; возвращение в прежнее положение важно сопоставлять и с направлением движения. Амплитуду находят как наибольшее расстояние от равновесия до края движения, а период — как время такого полного цикла. На графике смещения амплитуда читается по вертикали, период — по горизонтальному расстоянию между одинаковыми фазами.

Если за время t тело совершило N полных колебаний, частота равна ν = N/t. Для одного колебания N = 1 и время равно периоду T, поэтому ν = 1/T: чем больше длится цикл, тем меньше циклов укладывается в секунду. При наличии трения часть механической энергии переходит, например, во внутреннюю энергию деталей и воздуха. Из-за этой потери размах движения постепенно уменьшается, хотя период и частоту в простых задачах считают по числу циклов и времени.

Основные характеристики свободных механических колебаний

Сначала выбери известные величины и их единицы, затем найди в таблице формулу, которая связывает их с искомой. Если известны период и частота, проверь результат соотношением ν = 1/T. Для амплитуды важно измерять отклонение именно от равновесия.

Разбор задач

Задача 1. Маятник совершил 12 полных колебаний за 24 с. Определите период и частоту его колебаний.

1. Запишем данные: N = 12, t = 24 с. Нужно найти время одного цикла и число циклов за секунду.

2. Период равен общему времени, делённому на число циклов: T = t/N = 24 с/12 = 2 с.

3. Частоту найдём по числу колебаний за время: ν = N/t = 12/24 с = 0,5 Гц.

4. Проверим связь величин: 1/T = 1/2 с = 0,5 Гц, как и получилось.

Ответ: T = 2 с, ν = 0,5 Гц.

Задача 2. По графику движения груза определите амплитуду и период, если максимальное отклонение равно 4 см, а одинаковые положения с тем же направлением движения повторяются через 2 с.

1. Амплитуду измеряем от положения равновесия до крайнего положения. По условию максимальное отклонение уже дано, поэтому A = 4 см.

2. Период — время полного повторения движения, то есть возвращения в такое же положение с тем же направлением скорости. Это происходит через 2 с, значит, T = 2 с.

3. Не следует считать амплитудой полный размах от одного края до другого: он составил бы 8 см. Также не нужно брать только путь от одного края до второго, потому что это половина колебания.

Ответ: A = 4 см, T = 2 с.

Задача 3. Груз на пружине свободно колеблется с частотой 2 Гц. Сколько полных колебаний он совершит за 15 с и каков период одного колебания?

1. Дано: ν = 2 Гц, t = 15 с. Частота означает два колебания за каждую секунду, поэтому за 15 секунд число циклов N = νt = 2 · 15 = 30.

2. Период обратно пропорционален частоте: T = 1/ν = 1/2 с = 0,5 с.

3. Проверим результат: 30 колебаний по 0,5 с занимают 30 · 0,5 с = 15 с. Время согласуется с условием, а единица частоты — герц, то есть с⁻¹.

Ответ: 30 полных колебаний; T = 0,5 с.

Типичные ошибки

Амплитудой иногда называют расстояние между крайними положениями. Так происходит, потому что размах легко увидеть на рисунке, но он вдвое больше амплитуды, если колебания симметричны. Проверь себя: отсчитай расстояние от равновесия до одного края, а не от края до края.

Путь от одного крайнего положения до другого принимают за период. Это лишь половина цикла: тело ещё должно вернуться в исходное крайнее положение. Чтобы проверить период, сравнивай два одинаковых состояния движения, например два максимума графика, а не соседние противоположные края.

Период и частоту могут перепутать, считая, что при большем периоде колебания происходят чаще. Причина ошибки — обе величины описывают быстроту движения, но делают это по-разному. Проверка проста: используй ν = 1/T; если период растёт, частота должна уменьшаться.

Свободными называют любые колебания, в том числе поддерживаемые регулярными толчками. Однако периодическая внешняя сила делает колебания вынужденными, а свободное движение после начального воздействия продолжают внутренние силы системы. Проверь, действует ли на тело повторяющееся внешнее воздействие: если да, колебания не свободные.

Связь с другими темами

Для объяснения колебаний нужны понятия положения равновесия, силы и инерции, а также представление о потенциальной и кинетической энергии. Расчёты опираются на умение переводить единицы времени, читать графики движения и использовать простые пропорции. Эти знания пригодятся при изучении математического маятника и других колебательных систем. Они также помогают понять возникновение звука и волн, а позднее — отличие свободных колебаний от вынужденных.

Что запомнить

• Свободные колебания возникают после начального отклонения или толчка.
• Колебания происходят около положения равновесия.
• Амплитуда — максимальное отклонение от положения равновесия.
• Период — время одного полного колебания.
• Частота — число колебаний за единицу времени.
• Частота и период связаны формулой ν = 1/T.
• В реальных системах из-за трения амплитуда свободных колебаний уменьшается.