§ 9. Свободные механические колебания

Определения и обозначения

Свободные механические колебания — повторяющиеся движения системы около положения равновесия после начального отклонения, без внешнего периодического воздействия. Например, груз можно оттянуть и отпустить. Это понятие показывает, что дальнейшее движение поддерживается внутренними силами самой системы.

Колебательная система — тело или несколько тел, способных колебаться благодаря инерции и возвращающей силе. Инерция не даёт телу сразу остановиться, а возвращающая сила стремится вернуть его к равновесию. Поэтому система может переходить положение равновесия и двигаться в обратную сторону.

Амплитуда A — максимальное по модулю отклонение от положения равновесия. Текущее отклонение меняется со временем, а амплитуда в идеальной системе остаётся постоянной. По амплитуде судят о размахе колебаний: крайние положения равны x = −A и x = A.

Период T — время одного полного колебания, а частота ν — число колебаний за единицу времени. Эти величины взаимно обратны: ν = 1/T. Чем меньше период, тем чаще система совершает колебания.

Как это устроено

Одной инерции недостаточно: тело, получив скорость, двигалось бы дальше и не возвращалось. Одной возвращающей силы тоже мало, потому что без инерции тело просто остановилось бы в равновесии. Колебания появляются из совместного действия этих свойств: сила возвращает систему, а инерция переносит её через равновесие.

Если груз на пружине отклонить вправо, пружина растянется и по закону Гука создаст силу влево, к равновесию. В центре деформация и сила равны нулю, но скорость груза уже велика. Поэтому груз по инерции проходит центр, пружина сжимается, а новая возвращающая сила начинает тормозить движение и направляет его назад.

Для пружинного маятника при выборе оси вдоль движения F = −kx, где k — жёсткость пружины, а x — отклонение. Второй закон Ньютона даёт m·d²x/dt² = −kx, или d²x/dt² + (k/m)x = 0. Синус и косинус имеют вторую производную, пропорциональную самой функции с противоположным знаком, поэтому решением становится x = A cos(ωt + φ), где ω = √(k/m).

Амплитуда задаёт размах, период и частота — скорость повторения, а начальная фаза φ показывает, с какой точки цикла началось отсчитываемое движение. Координата находится из x = A cos(ωt + φ), а скорость — из v = −ωA sin(ωt + φ). Эти формулы позволяют найти положение и скорость в любой момент, если известны начальные условия.

В крайнем положении скорость равна нулю, зато потенциальная энергия максимальна. При движении к равновесию она превращается в кинетическую, а после прохождения центра кинетическая энергия снова переходит в потенциальную. В реальной системе сопротивление воздуха и трение отнимают механическую энергию, поэтому амплитуда постепенно уменьшается.

Сравнение свободных колебаний пружинного и математического маятников

Таблица помогает быстро сопоставить источник возвращающей силы и параметры периода. Формулы периода применимы к идеальным моделям: для пружины нужны малые деформации, а для маятника — малые углы. При решении задачи сначала определите тип системы, затем выберите соответствующую строку.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Груз массой 0,5 кг прикреплён к пружине жёсткостью 200 Н/м. Найдём период и частоту свободных колебаний. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому используем модель идеального пружинного маятника.

1. Записываем формулу периода: T = 2π√(m/k). Подставляем значения в единицах СИ: T = 2π√(0,5/200) ≈ 0,314 с.
2. Частота является величиной, обратной периоду. Поэтому ν = 1/T ≈ 1/0,314 ≈ 3,18 Гц.
3. Проверяем результат: большая жёсткость пружины должна давать небольшой период и заметную частоту. Полученные значения этому соответствуют.

Ответ: T ≈ 0,314 с, ν ≈ 3,18 Гц.

Задача 2

Условие. Груз отклонили от равновесия на 4 см и отпустили без начальной скорости. Нужно записать закон движения и найти положение через заданное время t. Так как тело стартует из крайнего положения, удобно выбрать косинус и принять направление начального отклонения положительным.

1. Амплитуда равна начальному отклонению: A = 4 см = 0,04 м. Начальная скорость равна нулю, поэтому в записи x = A cos(ωt + φ) можно взять φ = 0.
2. Закон движения имеет вид x(t) = 0,04 cos(ωt). Угловую частоту ω находят по параметрам пружины: ω = √(k/m), а если дан период, то ω = 2π/T.
3. Для указанного момента времени подставляем t в эту формулу. Например, при t = T/4 получаем x = 0,04 cos(π/2) = 0, то есть груз находится в равновесии.

Ответ: x(t) = 0,04 cos(ωt) м, где ω = 2π/T; положение в любой момент получают подстановкой времени.

Задача 3

Условие. Длину математического маятника увеличили в 4 раза, а массу груза уменьшили в 2 раза. Нужно определить изменение периода и максимальной скорости при той же амплитуде угла. Рассматриваем малые колебания и одинаковое ускорение свободного падения.

1. Из формулы T = 2π√(l/g) следует, что при увеличении l в 4 раза период возрастает в √4 = 2 раза. Масса в формулу периода не входит, поэтому её изменение результата не меняет.
2. При малом угле линейная амплитуда примерно равна A = lα, где α — амплитуда угла. Максимальная скорость vₘₐₓ = ωA = √(g/l)·lα = α√(gl).
3. При увеличении длины в 4 раза выражение √l возрастает в 2 раза. Значит, максимальная скорость увеличится в 2 раза, а уменьшение массы на неё не повлияет.

Ответ: период увеличится в 2 раза, максимальная скорость увеличится в 2 раза; масса груза на эти результаты не влияет.

Типичные ошибки

Путать амплитуду с текущим отклонением. Текущее x меняется каждую секунду, а A — это наибольшее значение |x| в идеальной модели. Проверьте себя: амплитуда не должна зависеть от выбранного момента времени.

Считать, что период зависит от амплитуды пружинного маятника или массы математического. Такая ошибка возникает из-за переноса привычных зависимостей на другую модель. Сверяйтесь с формулой: T = 2π√(m/k) для пружины и T = 2π√(l/g) для маятника.

Применять формулу математического маятника при больших углах. Она получена в приближении малых колебаний, когда sin α примерно равно α. Если угол велик, это приближение нарушается, и период немного зависит от амплитуды.

Записывать ν = T вместо ν = 1/T. Путают частоту с временем одного колебания, потому что обе величины связаны с повторяемостью движения. Проверьте единицы: период измеряется в секундах, а частота — в герцах, то есть 1/с.

Связь с другими темами

Для изучения колебаний нужны второй закон Ньютона, закон Гука, понятие равновесия, а также работа и кинетическая и потенциальная энергия. Эти знания объясняют происхождение возвращающей силы и закон сохранения энергии.

Графики синуса и косинуса показывают, как меняются координата, скорость и ускорение. По ним легко определить крайние положения, прохождение равновесия и взаимный сдвиг фаз разных величин.

Дальше эти идеи используются при изучении затухающих и вынужденных колебаний, резонанса, механических волн и переменного тока. Общими остаются периодичность, частота и обмен энергией.

Что запомнить

• Свободные колебания возникают после начального отклонения без внешнего периодического воздействия.
• Для колебаний необходимы инерция тела и возвращающая сила.
• В идеальной системе координата изменяется по синусоидальному закону.
• Период пружинного маятника определяется формулой T = 2π√(m/k).
• Период математического маятника при малых колебаниях определяется формулой T = 2π√(l/g).
• Частота равна величине, обратной периоду: ν = 1/T.
• В идеальных колебаниях энергия периодически переходит из потенциальной в кинетическую и обратно.