§ 9. Свободные механические колебания

Определения и обозначения

Свободные механические колебания — это колебания системы после выведения из положения равновесия, когда внешнее периодическое воздействие отсутствует. Например, груз можно оттянуть и отпустить, после чего он будет двигаться под действием сил самой системы. Это определение помогает отличить свободные колебания от вынужденных.

Период колебаний T — время одного полного колебания: например, возвращения груза в прежнее положение с прежним направлением движения. Единица измерения периода в СИ — секунда (с). Зная период, можно определить, насколько быстро повторяется движение.

Частота колебаний ν — число полных колебаний за единицу времени. Она связана с периодом соотношением ν = 1/T и измеряется в герцах: 1 Гц = 1 с⁻¹. Частота показывает, сколько циклов движения происходит за одну секунду.

Циклическая частота ω равна 2πν, поэтому ω = 2π/T. Она показывает скорость изменения фазы колебаний, то есть насколько быстро система проходит последовательные стадии одного цикла. Единица ω в СИ — радиан в секунду, рад/с.

Как это устроено

Если груз на пружине оттянуть от равновесия, пружина деформируется. По закону Гука сила упругости направлена противоположно смещению: при растяжении она тянет груз назад, а при сжатии толкает его к равновесию. Поэтому возникает возвращающая сила, которая сообщает грузу ускорение к центру движения и может поддерживать колебания.

В крайних положениях скорость груза на мгновение становится равной нулю, зато деформация пружины и её потенциальная энергия максимальны. Двигаясь к равновесию, груз ускоряется, а энергия пружины превращается в кинетическую; в центре скорость максимальна. Затем по инерции груз проходит равновесие, пружина деформируется в другую сторону, и кинетическая энергия снова переходит в потенциальную.

Для пружинного маятника второй закон Ньютона и закон Гука дают уравнение m·x'' = −kx. Его решение является гармоническим, а циклическая частота равна ω = √(k/m). Так как T = 2π/ω, получаем T = 2π√(m/k): тяжёлый груз колеблется медленнее, а более жёсткая пружина — быстрее.

Идеальные свободные колебания описываются формулой x(t) = A cos(ωt + φ₀). Амплитуда A — наибольшее по модулю смещение, φ₀ — фаза в начальный момент, а выражение ωt + φ₀ задаёт, на какой стадии цикла находится система. При наличии сопротивления амплитуда постепенно уменьшается, но в идеальной модели A постоянна.

Период пружинного маятника не зависит от амплитуды, если колебания достаточно малы и пружина подчиняется закону Гука. Он также не зависит от начальной фазы: она только определяет, с какого состояния начинается движение. Полная механическая энергия без сопротивления сохраняется, поэтому колебания продолжаются неограниченно долго.

Характеристики свободных гармонических колебаний

Таблица помогает выбрать нужную величину и формулу по условию задачи. Сначала определите, что известно: число колебаний, время, параметры пружины или уравнение движения. Затем проверьте единицы и используйте связи T = 1/ν и ω = 2πν.

По графику расстояние между соседними одинаковыми фазовыми точками, например максимумами, равно периоду. Высота максимума относительно равновесия даёт амплитуду, а начальное значение и направление движения помогают определить начальную фазу.

Разбор задач

Задача 1

Условие: груз совершает 20 колебаний за 10 с. Найдём период и частоту. Число колебаний обозначим N, а всё время наблюдения — t.

1. Частота показывает число колебаний за секунду: ν = N/t = 20/10 = 2 Гц.
2. Период — время одного колебания, поэтому T = t/N = 10/20 = 0,5 с.
3. Проверим обратную связь: 1/T = 1/0,5 = 2 Гц, что совпадает с найденной частотой.

Ответ: T = 0,5 с, ν = 2 Гц.

Задача 2

Условие: груз массой 0,25 кг прикреплён к пружине жёсткостью 100 Н/м. Требуется определить период и частоту свободных колебаний. Используем модель идеального пружинного маятника.

1. Записываем формулу периода: T = 2π√(m/k).
2. Подставляем значения: T = 2π√(0,25/100) = 2π√0,0025 = 2π·0,05 ≈ 0,314 с.
3. Находим частоту как величину, обратную периоду: ν = 1/T ≈ 1/0,314 ≈ 3,18 Гц.

Ответ: период примерно 0,314 с, частота примерно 3,18 Гц. Увеличение массы сделало бы колебания медленнее, а увеличение жёсткости — быстрее.

Задача 3

Условие: движение задано уравнением x(t) = 0,06 cos(5t + π/3) м. Найдём амплитуду, период, начальную фазу, координату при t = 0 и максимальную скорость.

1. Сравниваем с x(t) = A cos(ωt + φ₀): A = 0,06 м, ω = 5 рад/с, φ₀ = π/3.
2. Период T = 2π/ω = 2π/5 ≈ 1,26 с.
3. При t = 0: x(0) = 0,06 cos(π/3) = 0,06·0,5 = 0,03 м.
4. Максимальная скорость равна vₘₐₓ = Aω = 0,06·5 = 0,30 м/с.

Ответ: A = 0,06 м, T ≈ 1,26 с, φ₀ = π/3, x(0) = 0,03 м, vₘₐₓ = 0,30 м/с.

Типичные ошибки

Считать свободными любые колебания. Колебания с внешней периодической силой являются вынужденными, даже если система сама тоже обладает возвращающей силой. Проверьте, было ли только начальное воздействие или сила действует периодически всё время.

Путать период и частоту. Ошибка возникает из-за похожего смысла величин: одна связана с длительностью цикла, другая — с их количеством. Проверьте себя формулой ν = 1/T и единицами: секунды у периода, герцы у частоты.

Считать, что период пружинного маятника зависит от амплитуды. В идеальной модели малых гармонических колебаний амплитуда в формулу T = 2π√(m/k) не входит. Если амплитуда появилась в расчёте периода, перепроверьте выбранную модель и формулу.

Забывать о безразмерности аргумента косинуса. В выражении ωt + φ₀ оба слагаемых являются углами, измеряемыми в радианах, поэтому ω выражается в рад/с, а t — в секундах. Убедитесь, что произведение ωt не имеет единицы времени.

Связь с другими темами

Для понимания свободных колебаний нужны второй закон Ньютона, сила упругости и закон Гука, а также кинетическая и потенциальная энергии. Эти знания объясняют появление ускорения и переход энергии.

Модель свободных колебаний используется при изучении математического и физического маятников. Позже на её основе рассматривают затухающие и вынужденные колебания, резонанс и механические волны.

Что запомнить

• Свободные колебания происходят после начального отклонения системы от равновесия без внешнего периодического воздействия.
• В идеальной системе возвращающая сила приводит к периодическому движению.
• Период — время одного колебания, частота — число колебаний в секунду.
• ν = 1/T, а ω = 2πν = 2π/T.
• Для пружинного маятника T = 2π√(m/k).
• При гармонических колебаниях координата меняется по закону x(t) = A cos(ωt + φ₀).
• В идеальных свободных колебаниях полная механическая энергия сохраняется.