§ 23. Превращения энергии при колебаниях

Определения и обозначения

Кинетическая энергия — энергия движущегося тела. При колебаниях она наибольшая, когда тело проходит положение равновесия, потому что именно там его скорость обычно максимальна. Это понятие помогает связать движение тела с его энергией и сравнить скорость в разных точках пути.

Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или деформации. При колебаниях она наибольшая в крайних положениях, где тело отклонено от равновесия сильнее всего. Она показывает, сколько энергии система может передать движению при возвращении к равновесию.

Полная механическая энергия колебательной системы — сумма её кинетической и потенциальной энергий: E = Eк + Eп. Здесь Eк обозначает кинетическую энергию, а Eп — потенциальную. Эта сумма позволяет учитывать энергию системы целиком, а не только её отдельную часть.

Превращение энергии при колебаниях — переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Например, у маятника энергия положения превращается в энергию движения и снова накапливается при подъёме. Так можно описать, почему скорость и отклонение тела меняются в течение колебания.

Как это устроено

В крайнем положении тело на мгновение останавливается, чтобы изменить направление движения. Поэтому его скорость равна нулю, а вместе с ней равна нулю кинетическая энергия. Отклонение от равновесия здесь наибольшее, поэтому потенциальная энергия достигает максимума. Если система идеальна и потерь нет, эта энергия затем снова сможет привести тело в движение.

Когда тело движется от крайнего положения к равновесию, возвращающая сила разгоняет его. По мере уменьшения отклонения уменьшается потенциальная энергия, а скорость и кинетическая энергия растут. В равновесии тело проходит точку наибольшей скорости: накопленная при отклонении энергия в основном перешла в энергию движения. Поэтому в этой точке кинетическая энергия максимальна.

После прохождения равновесия тело не останавливается сразу, поскольку обладает скоростью. Оно движется к противоположному краю, постепенно замедляясь: возвращающая сила направлена против его движения. Кинетическая энергия при этом уменьшается, а потенциальная увеличивается. В новом крайнем положении скорость снова на мгновение становится нулевой.

Если трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, энергия не уходит из механического движения в другие виды. Поэтому сумма Eк и Eп остаётся постоянной, хотя каждая из них по отдельности меняется. Это и есть закон сохранения механической энергии для такой системы. Он позволяет найти неизвестную энергию в одном положении по известным значениям в другом.

В реальных условиях тело взаимодействует с воздухом и другими частями системы, например с опорой. Из-за сопротивления и трения часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию тел и окружающей среды. Поэтому размах колебаний со временем уменьшается, а сами колебания затухают. Энергия при этом не исчезает: уменьшается именно механическая энергия рассматриваемого движения.

Изменение энергии при колебаниях

Таблица показывает, как меняются две составляющие механической энергии при движении между крайними положениями. В промежуточной точке обычно есть и потенциальная, и кинетическая энергия. Для реальной системы учитывайте потери: её механическая энергия постепенно уменьшается.

Разбор задач

Маятник отпущен из крайнего положения. Сравните его кинетическую и потенциальную энергии в крайнем положении и при прохождении положения равновесия.

1. В крайнем положении маятник только отпущен и ещё не начал заметно двигаться. Его скорость в этот миг равна нулю, значит, кинетическая энергия тоже равна нулю.
2. Отклонение маятника от равновесия в этой точке наибольшее. Поэтому потенциальная энергия максимальна по сравнению с другими положениями его пути.
3. При прохождении равновесия скорость маятника максимальна, а кинетическая энергия наибольшая. Потенциальная энергия в этой точке минимальна; при отсутствии потерь сумма энергий в обоих положениях одинакова.

Ответ: в крайнем положении Eк = 0, а Eп максимальна; в равновесии Eк максимальна, а Eп минимальна. Полная механическая энергия маятника остаётся постоянной, если потерями можно пренебречь.

Груз на пружине совершает колебания без трения. В одном положении его кинетическая энергия равна 0,12 Дж, а потенциальная — 0,08 Дж. Найдите полную механическую энергию и кинетическую энергию в положении равновесия.

1. Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной. Поэтому для указанного положения записываем E = Eк + Eп.
2. Подставляем значения: E = 0,12 Дж + 0,08 Дж = 0,20 Дж. Поскольку трения нет, эта сумма сохраняется при движении груза.
3. В положении равновесия потенциальную энергию пружины удобно считать минимальной, принимая её за ноль. Тогда вся полная механическая энергия приходится на кинетическую: Eк = 0,20 Дж.

Ответ: полная механическая энергия равна 0,20 Дж, кинетическая энергия в положении равновесия — 0,20 Дж. Такой вывод использует обычный выбор нулевого уровня потенциальной энергии в положении равновесия.

Маятник постепенно перестал раскачиваться. Объясните, куда перешла его механическая энергия, и почему при этом энергия не исчезла.

1. Постепенное уменьшение размаха означает, что механическая энергия колебаний стала меньше. Причина — трение в опоре и сопротивление воздуха, которые мешают движению.
2. Эти силы передают часть энергии окружающей среде и телам системы. Она переходит главным образом во внутреннюю энергию, а часть может распространяться в виде звука.
3. Чтобы проверить рассуждение, нужно учитывать не только движение маятника, но и окружение. Для всей системы энергия сохраняется, хотя механическая энергия самого колебания уменьшается.

Ответ: механическая энергия перешла преимущественно во внутреннюю энергию маятника, опоры и воздуха, частично — в звук. Энергия не исчезла, а изменила вид.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать полной механической энергией только кинетическую или только потенциальную. Обычно так происходит, когда внимание сосредоточено лишь на движении или положении тела. Проверка простая: запишите E = Eк + Eп и учтите оба слагаемых, даже если в конкретной точке одно из них равно нулю.

• Ошибка — считать потенциальную энергию максимальной в равновесии. Её могут путать с кинетической, которая обычно максимальна именно там. Вспомните, где сильнее всего отклонение или деформация: это помогает определить крайнее положение, где потенциальная энергия наибольшая.

• Ошибка — считать, что кинетическая энергия наибольшая в крайнем положении. Такое представление возникает, если не заметить, что тело в этой точке меняет направление. Проверьте себя по скорости: если она равна нулю, кинетическая энергия также равна нулю.

• Ошибка — утверждать, что при затухании энергия исчезает. Кажется, что это так, потому что размах и скорость уменьшаются, а движение прекращается. Проверьте, куда могла перейти энергия: трение и сопротивление нагревают тела и воздух, поэтому механическая энергия превращается во внутреннюю, но не пропадает.

Связь с другими темами

Для понимания превращений энергии нужно знать кинетическую и потенциальную энергию, а также то, как кинетическая энергия зависит от скорости. Понадобятся и понятия колебания, положения равновесия и крайнего положения. Эта тема связывает описание движения с законом сохранения энергии. Позже она поможет разбираться в затухающих колебаниях и превращениях энергии в механизмах.

Что запомнить

• Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной.
• В крайнем положении скорость тела равна нулю.
• При прохождении положения равновесия скорость колеблющегося тела максимальна.
• При колебаниях кинетическая и потенциальная энергии превращаются друг в друга.
• Без трения и сопротивления полная механическая энергия сохраняется.
• При затухании механическая энергия переходит в другие виды энергии.