§ 24. Графическая запись колебательного движения

Определения и обозначения

График колебательного движения — способ показать, как координата или смещение тела изменяется со временем. Он нужен, чтобы без подробного описания движения узнать положение тела в каждый момент и основные характеристики колебаний.

Амплитуда колебаний — наибольшее по модулю отклонение тела от положения равновесия. Её обозначают A и используют, чтобы определить максимальный размах движения тела в одну сторону.

Период колебаний — время одного полного колебания, обозначаемое T. За этот промежуток тело возвращается в то же положение и движется в том же направлении.

Частота колебаний — число полных колебаний за единицу времени, обычно за секунду. Её обозначают ν; частота связана с периодом формулой ν = 1/T, поэтому чем меньше период, тем больше частота.

Как это устроено

Время откладывают по горизонтальной оси, потому что оно является независимой величиной: наблюдатель выбирает момент и смотрит, где находится тело. По вертикальной оси откладывают координату или смещение, так как именно эта величина меняется с течением времени. Такой выбор позволяет каждой точке графика сопоставить пару значений: момент времени и положение тела.

Чтобы узнать состояние тела в данный момент, находят нужное время на горизонтальной оси и проводят мысленно вертикаль до кривой. Затем по вертикальной оси считывают смещение: знак показывает сторону от положения равновесия, а величина — расстояние до него. По наклону кривой можно дополнительно понять направление движения: при возрастании смещения тело движется в сторону положительных значений.

Колебательное движение повторяется, поэтому через одинаковый промежуток времени тело снова проходит то же состояние. На графике это выражается повторением одинакового участка через время T. Например, после каждого периода максимум сменяется следующим максимумом, а положение и направление движения в этих точках совпадают.

Амплитуду находят по самой высокой или самой низкой точке графика относительно нулевой линии, соответствующей положению равновесия. Если максимум равен 2 см, то A = 2 см, а минимум будет равен −2 см. Период определяют по расстоянию между одинаковыми фазовыми состояниями, например соседними максимумами; затем частоту вычисляют по формуле ν = 1/T.

Основные характеристики колебательного движения и их определение по графику

При чтении графика сначала определите масштаб обеих осей и их единицы измерения. Затем выбирайте нужную характеристику: положение считывают по вертикали, а промежутки времени — по горизонтали.

Разбор задач

Задача 1. По графику зависимости смещения тела от времени определить амплитуду и период колебаний.

1. Находим наибольшее отклонение кривой от нулевой линии. Если максимум равен 3 см, то амплитуда A = 3 см.
2. Выбираем два соседних одинаковых состояния, например два максимума, и считываем их время. Пусть они соответствуют 0,5 с и 2,5 с.
3. Вычитаем значения времени: T = 2,5 − 0,5 = 2 с.

Ответ: A = 3 см, T = 2 с.

Задача 2. Построить график колебаний с амплитудой 4 см и периодом 2 с, если в начальный момент тело находится в равновесии и движется к положительным смещениям.

1. Делим период на четыре части: T/4 = 0,5 с.
2. Наносим точки: (0; 0), (0,5; 4), (1; 0), (1,5; −4), (2; 0).
3. Соединяем точки плавной периодической кривой и повторяем её после 2 с.

Ответ: график начинается с нулевого смещения, идёт к максимуму 4 см, затем к минимуму −4 см и повторяется через 2 с.

Задача 3. По графику определить период и частоту колебаний, а также смещение тела при t = 1 с.

1. Находим одинаковые состояния: соседние максимумы отмечены при 0 с и 2 с, значит T = 2 с.
2. Вычисляем частоту: ν = 1/T = 1/2 с = 0,5 Гц.
3. Проводим вертикаль из точки t = 1 с к графику и считываем координату. Если кривая проходит через нулевую линию, то x = 0.

Ответ: T = 2 с, ν = 0,5 Гц, x = 0.

Типичные ошибки

Амплитуду путают с размахом. Амплитуда равна расстоянию от равновесия до одного края, а размах — расстоянию между двумя краями и вдвое больше. Проверьте себя: если A = 3 см, крайние значения равны ±3 см, а размах равен 6 см.

Период принимают за время до крайнего положения. Так ошибаются, потому что рассматривают только часть пути. При гармоническом колебании путь от равновесия до края занимает T/4; период нужно измерять до возвращения в то же состояние.

Координату считывают по горизонтальной оси. На ней указано время, а положение тела задано вертикальной осью. Проверьте подписи осей и сначала найдите заданный момент t, а уже потом считывайте x.

Частоту считают равной периоду. Эти величины имеют разный смысл и связаны обратной зависимостью. После нахождения периода обязательно используйте ν = 1/T и укажите герцы.

Связь с другими темами

До изучения графиков нужны навыки работы с координатными осями, масштабом и единицами времени и длины. Также следует понимать, что такое положение равновесия и колебательное движение.

Эти знания пригодятся при изучении математического и пружинного маятников, звуковых колебаний и волн. График помогает сравнивать движения и находить их основные характеристики.

Что запомнить

• По горизонтали обычно откладывают время, а по вертикали — смещение или координату.
• Амплитуда — максимальное отклонение от положения равновесия.
• Период равен времени одного полного колебания.
• Частота показывает число колебаний за единицу времени.
• Частота и период связаны формулой ν = 1/T.
• Одинаковые состояния повторяются через каждый период.
• По графику можно определить смещение, амплитуду, период и частоту.