"Физика", Изергин Э.Т.
При колебаниях энергия тела не исчезает, а переходит из одного вида в другой: потенциальная энергия становится кинетической, а затем снова потенциальной. Например, груз на пружине в крайней точке неподвижен, зато пружина сильнее всего деформирована; у положения равновесия груз движется быстрее всего. В идеальной системе сумма энергий постоянна. Разобравшись в этих превращениях, можно находить скорость груза в разных точках и понимать, почему реальные колебания постепенно затухают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Механическая энергия колебательной системы — сумма кинетической и потенциальной энергий тела. При колебаниях эти две составляющие меняются, но в идеальном случае их сумма остаётся прежней. Это понятие нужно, чтобы описывать движение не только через скорость и положение, но и через обмен энергией.
Кинетическая энергия — энергия движущегося тела, зависящая от его массы и скорости: Eₖ = mv²/2. Чем быстрее движется тело, тем больше его кинетическая энергия; увеличение массы тоже увеличивает её. Эта формула помогает вычислять энергию движения в любой точке колебания.
Потенциальная энергия — энергия, связанная с положением тела или деформацией упругого тела. Например, растянутая или сжатая пружина запасает энергию упругой деформации: Eₚ = kx²/2, где k — жёсткость пружины, а x — её деформация относительно равновесия. Такое описание позволяет учитывать энергию, запасённую системой, даже когда тело движется медленно или остановилось.
Полная механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий: E = Eₖ + Eₚ. В идеальной колебательной системе, где нет потерь на трение и сопротивление, эта сумма сохраняется. Сравнивая полную энергию в разных точках, можно находить неизвестную скорость или положение тела.
Когда тело отклоняют от положения равновесия, ему сообщают энергию: например, растянутая пружина получает запас энергии упругой деформации. Затем сила, стремящаяся вернуть систему к равновесию, приводит тело в движение. По мере движения деформация пружины уменьшается, значит, уменьшается и потенциальная энергия, а скорость растёт — потенциальная энергия переходит в кинетическую. Перейдя равновесие, тело продолжает двигаться по инерции и деформирует пружину в противоположную сторону.
В крайнем положении тело на мгновение останавливается, потому что именно там оно меняет направление движения. Скорость в этот миг равна нулю, поэтому кинетическая энергия Eₖ = mv²/2 тоже равна нулю. Зато отклонение от равновесия максимально, а значит, максимальна энергия деформированной пружины. При движении от этой точки к центру запасённая энергия снова превращается в энергию движения.
В положении равновесия пружина не растянута и не сжата относительно своего равновесного состояния, поэтому её энергия деформации минимальна. Тело к этому моменту получает энергию, которая была запасена в крайней точке, и движется быстрее всего. Поэтому здесь кинетическая энергия максимальна. После прохождения равновесия возвращающая сила тормозит тело, передавая кинетическую энергию потенциальной.
Закон сохранения механической энергии связывает скорость с положением: если потерями можно пренебречь, Eₖ + Eₚ остаётся постоянной. Для груза на пружине с амплитудой A полная энергия равна энергии в крайней точке: E = kA²/2. В точке с отклонением x выполняется mv²/2 + kx²/2 = kA²/2, откуда можно найти скорость: v = √(k(A² − x²)/m). Чем ближе груз к крайнему положению, тем меньше его скорость.
В реальной системе на движение влияют трение и сопротивление среды. Они превращают часть механической энергии во внутреннюю энергию тела и окружающих предметов; часть может перейти в звук. Поэтому запас механической энергии уменьшается от колебания к колебанию, а максимальное отклонение становится меньше. Такое движение называют затухающим.
График показывает, как энергия зависит от отклонения x: у пружинного колебателя потенциальная энергия растёт к крайним точкам, а кинетическая больше всего в центре. Их сумма не меняется, поэтому график полной энергии — горизонтальная линия.
| Положение тела | Скорость | Кинетическая энергия | Потенциальная энергия | Полная механическая энергия |
|---|---|---|---|---|
| Крайнее положение | Равна нулю | Равна нулю, минимальна | Максимальна | Постоянна в идеальной системе |
| Промежуточное положение | Не нулевая, зависит от отклонения | Не нулевая | Не максимальна | Постоянна в идеальной системе |
| Положение равновесия | Максимальна | Максимальна | Минимальна | Постоянна в идеальной системе |
Сравнивайте строки таблицы для одной и той же системы: так видно, какая форма энергии преобладает в каждом положении. В промежуточной точке обычно есть и кинетическая, и потенциальная энергия. В реальной системе сопротивление может уменьшать полную механическую энергию со временем.
1. Задача. Груз на пружине отклонён от положения равновесия до крайнего положения. Определить, в какие виды энергии превращается энергия груза при его движении к равновесию. Решение. В крайней точке скорость груза равна нулю, поэтому его кинетическая энергия отсутствует, а энергия деформированной пружины максимальна. При движении к равновесию пружина распрямляется, её потенциальная энергия уменьшается и переходит в кинетическую энергию груза. Ответ: потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию груза.
2. Задача. Груз массой 0,2 кг совершает колебания на пружине. В положении равновесия его скорость равна 1 м/с. Найти полную механическую энергию системы. Решение. В равновесии потенциальную энергию пружины принимаем равной нулю, поэтому полная энергия равна кинетической. Подставим данные в формулу E = mv²/2: E = 0,2 · 1²/2 = 0,1 Дж. Ответ: полная механическая энергия равна 0,1 Дж.
3. Задача. Груз на пружине колеблется с амплитудой 0,10 м. Жёсткость пружины 200 Н/м. Найти скорость груза при отклонении 0,06 м от равновесия, если масса груза 0,20 кг. Решение. В крайней точке вся энергия равна потенциальной: E = kA²/2 = 200 · 0,10²/2 = 1 Дж. В заданной точке Eₚ = kx²/2 = 200 · 0,06²/2 = 0,36 Дж, значит, Eₖ = 1 − 0,36 = 0,64 Дж. Из Eₖ = mv²/2 получаем v = √(2 · 0,64/0,20) = √6,4 ≈ 2,53 м/с. Ответ: скорость около 2,53 м/с.
Считать, что кинетическая и потенциальная энергии в любой момент одинаковы, неверно: их соотношение меняется с положением тела. Такое представление возникает, если запомнить лишь факт превращения энергий и не учитывать их величины. Проверьте себя: в крайней точке кинетическая энергия равна нулю, а в промежуточной точке обе энергии могут быть ненулевыми.
Крайнюю точку иногда путают с положением равновесия, потому что в обоих случаях речь идёт о важных точках движения. Но в крайнем положении скорость равна нулю, а в равновесии она максимальна. Проверяйте, где находится тело: крайняя точка — наибольшее отклонение, равновесие — середина колебания.
Закон сохранения полной механической энергии нельзя применять без поправок, если сопротивление среды заметно. Ошибка появляется, когда идеальную модель переносят на реальное движение и не замечают уменьшения амплитуды. Сравните соседние колебания: если размах становится меньше, механическая энергия убывает, и потери нужно учитывать.
Значение потенциальной энергии зависит от выбранного нулевого уровня, поэтому нельзя смешивать результаты, полученные от разных уровней отсчёта. Это часто вызывает ошибку при сравнении энергий в разных точках. Для проверки используйте один уровень во всём решении и помните: физический смысл имеет изменение потенциальной энергии между положениями.
Для темы нужны формулы кинетической и потенциальной энергии, понятия работы и закон сохранения энергии. Сами колебания описываются амплитудой, положением равновесия, периодом и скоростью: эти свойства помогают понять, где тело находится и как движется. Представление об энергетических превращениях пригодится при изучении затухающих колебаний, волн и энергетики механических систем.
Почему тело в крайнем положении на мгновение останавливается?
Тело движется к крайней точке, постепенно передавая кинетическую энергию потенциальной. Там оно меняет направление движения, поэтому его скорость в этот миг равна нулю. Затем потенциальная энергия начинает переходить обратно в кинетическую.
Почему скорость максимальна именно при прохождении положения равновесия?
При движении к равновесию запас потенциальной энергии превращается в кинетическую. В положении равновесия потенциальная энергия минимальна, поэтому кинетическая и скорость наибольшие. После этого тело продолжает движение по инерции к другому крайнему положению.
Можно ли считать полную механическую энергию постоянной при любых колебаниях?
Нет. Она сохраняется, если потерями энергии можно пренебречь и система идеальна. Сопротивление воздуха и трение переводят часть механической энергии во внутреннюю энергию, поэтому колебания затухают.
Зависит ли превращение энергии от выбора нулевого уровня потенциальной энергии?
Сам переход энергии из одного вида в другой от выбора нулевого уровня не зависит. Выбор меняет численное значение потенциальной энергии, но не её изменение между двумя положениями. Для расчётов важно использовать один и тот же уровень отсчёта.
Куда исчезает энергия при затухании колебаний?
Она не исчезает, а переходит главным образом во внутреннюю энергию тела и окружающей среды. При движении с трением тела и воздух немного нагреваются, а часть энергии уходит на звук. Поэтому механическая энергия колебательной системы уменьшается.
§ 17. Превращения энергии при колебаниях
