"Физика. Базовый и профильный уровни", Тихомирова С.А., Яворский Б.М.
Тело, брошенное под углом к горизонту, одновременно движется вперёд и вверх или вниз. Такое движение удобно разложить на два независимых: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали. Начальная скорость задаётся двумя составляющими, а сила тяжести изменяет только вертикальную скорость. Это позволяет найти координаты тела, время полёта, максимальную высоту и дальность, а также доказать, что траектория имеет форму параболы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разложение начальной скорости на составляющие — представление скорости v₀ двумя взаимно перпендикулярными компонентами: горизонтальной v₀ cos α и вертикальной v₀ sin α. Такое разложение позволяет отдельно описывать движение вдоль каждой оси. Угол α отсчитывают от горизонтали.
Траектория движения — линия, которую описывает тело во время полёта. При броске под углом к горизонту она имеет форму параболы. По траектории можно определить, как меняется высота тела и где оно окажется в каждый момент.
Время полёта — промежуток от броска до возвращения тела на исходный горизонтальный уровень. Оно показывает продолжительность движения и находится из условия равенства начальной и конечной высоты. Если высоты различны, время определяют из общего уравнения вертикального движения.
Дальность полёта — горизонтальное перемещение тела до приземления, а максимальная высота подъёма — наибольшая вертикальная координата. Эти величины характеризуют размеры полёта. Для их нахождения используют время движения и условие нулевой вертикальной скорости в верхней точке.
Движение можно рассматривать как сочетание двух независимых движений, потому что горизонтальная и вертикальная координаты задаются разными проекциями сил и скорости. Сила тяжести направлена вертикально, поэтому она не меняет горизонтальную координату напрямую. Это позволяет применять отдельно формулы равномерного и равноускоренного движения.
Начальную скорость изображают вектором, а затем проектируют его на оси координат. Проекция на горизонталь является прилежащим катетом прямоугольного треугольника, поэтому равна v₀ cos α; вертикальная проекция — противолежащим катетом и равна v₀ sin α. Ускорение свободного падения направлено вниз, поэтому оно действует только на вертикальную составляющую скорости.
Если начало координат находится в точке броска, положение тела в момент t задаётся формулами x = v₀ cos α · t и y = v₀ sin α · t − ½gt². Первая формула показывает, какое расстояние тело прошло по горизонтали, а вторая учитывает подъём из-за начальной вертикальной скорости и последующее падение. Подставляя конкретное время, можно найти координаты тела в любой момент полёта.
Вертикальная скорость сначала уменьшается, потому что ускорение g направлено противоположно начальному движению вверх. В верхней точке vy = v₀ sin α − gt становится равной нулю, после чего скорость направлена вниз и по модулю увеличивается. Горизонтальная скорость vx = v₀ cos α не изменяется, так как горизонтального ускорения нет.
Для возвращения на исходный уровень в уравнение y = v₀ sin α · t − ½gt² подставляют y = 0 и выбирают положительное время: t = 2v₀ sin α / g. Максимальную высоту находят из условия vy = 0, а дальность — умножением постоянной горизонтальной скорости на время полёта. Исключение времени из уравнений x и y даёт y = x tg α − gx² / (2v₀² cos² α), то есть уравнение параболы.
| Величина или характеристика | Формула | Физический смысл и условия применения |
|---|---|---|
| Горизонтальная составляющая начальной скорости | v₀x = v₀ cos α | Скорость движения вдоль горизонтали; постоянна без сопротивления воздуха. |
| Вертикальная составляющая начальной скорости | v₀y = v₀ sin α | Начальная скорость подъёма; направлена вверх при α > 0. |
| Ускорение по горизонтали и вертикали | ax = 0, ay = −g | Горизонтальное ускорение отсутствует, вертикальное направлено вниз. |
| Координата тела по горизонтали | x = v₀ cos α · t | Координата при начале отсчёта в точке броска. |
| Координата тела по вертикали | y = v₀ sin α · t − ½gt² | Высота относительно точки броска при y₀ = 0. |
| Время полёта при возвращении на исходный уровень | t = 2v₀ sin α / g | Применяется, если высоты броска и приземления одинаковы. |
| Максимальная высота подъёма | h = v₀² sin² α / 2g | Наибольшая высота над исходным уровнем. |
| Дальность полёта | L = v₀² sin 2α / g | Горизонтальное перемещение при приземлении на исходный уровень. |
| Уравнение траектории | y = x tg α − gx² / (2v₀² cos² α) | Зависимость высоты от горизонтальной координаты; это парабола. |
Сначала определите, совпадают ли высоты броска и приземления: от этого зависит выбор формул времени и дальности. Если высота различна, используйте уравнение y(t), найдите положительное время, а затем подставьте его в x(t). В таблице предполагается, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Условие: тело бросили со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту. Найти горизонтальную и вертикальную составляющие начальной скорости. Используем cos 30° ≈ 0,866 и sin 30° = 0,5.
Ответ: v₀x ≈ 17,3 м/с, v₀y = 10 м/с. Проверка по теореме Пифагора даёт √(17,3² + 10²) ≈ 20 м/с.
Условие: мяч бросили со скоростью 20 м/с под углом 45° с поверхности земли. Найти время полёта, максимальную высоту и дальность; принять g = 10 м/с². Высоты броска и приземления одинаковы, поэтому применимы стандартные формулы.
Ответ: время полёта примерно 1,41 с, максимальная высота 10 м, дальность 40 м. Угол 45° даёт здесь максимальную дальность среди углов при одинаковых начальных условиях.
Условие: камень бросили со скоростью 20 м/с под углом 30° с обрыва высотой 20 м. Найти время падения и дальность; g = 10 м/с². Ось y направим вверх от уровня земли, поэтому начальная координата равна 20 м.
Ответ: время падения примерно 3,24 с, горизонтальная дальность примерно 56 м. Отрицательный корень не описывает момент после броска.
Перепутаны синус и косинус. Иногда v₀ sin α относят к горизонтали, а v₀ cos α — к вертикали, потому что запоминают функции без рисунка. Проверьте: угол задан от горизонтали, значит прилежащая проекция использует косинус.
Вертикальное движение считают равномерным. Такая ошибка возникает, если не учесть действие тяжести. Запишите ay = −g и проверьте, меняется ли вертикальная скорость со временем.
Ускорение g приписывают горизонтальному движению. Сила тяжести направлена вниз, поэтому ax = 0, а ay = −g. Если горизонтальная скорость у вас меняется, проверьте, не добавили ли вы лишнюю силу.
Формулы времени и дальности применяют без условия равных высот. Стандартные формулы предполагают возвращение на исходный уровень. При обрыве или возвышении сначала решите уравнение по вертикали.
Берут оба корня квадратного уравнения. Отрицательное время не имеет физического смысла, поэтому выбирают корень t > 0. Дополнительно проверьте, соответствует ли найденный момент приземлению.
Для решения задач нужны векторное сложение и разложение, равноускоренное движение, ускорение свободного падения и тригонометрические функции. Тема продолжает изучение движений по горизонтали и вертикали и объединяет их в одну модель. Эти результаты применяются при изучении движения спутников и снарядов, баллистики, спортивных бросков и задач с сопротивлением воздуха.
Почему тело продолжает двигаться по горизонтали, если на него действует сила тяжести?
Сила тяжести направлена вертикально вниз и не создаёт горизонтального ускорения. Поэтому горизонтальная составляющая скорости сохраняется постоянной, если сопротивлением воздуха пренебречь.
Как понять, где в формуле использовать синус, а где косинус угла броска?
Угол α отсчитывают от горизонтали. Поэтому горизонтальная составляющая равна прилежащему катету v₀ cos α, а вертикальная — противолежащему катету v₀ sin α.
Почему в верхней точке траектории скорость тела не равна нулю?
В верхней точке равна нулю только вертикальная составляющая скорости: тело перестаёт подниматься. Горизонтальная составляющая сохраняется, поэтому тело продолжает двигаться вперёд.
Можно ли применять формулу дальности, если тело приземляется ниже или выше точки броска?
Формулу L = v₀² sin 2α / g в таком виде можно применять только при одинаковых высотах броска и приземления. При разных высотах сначала находят время движения из уравнения по вертикали, а затем используют L = v₀ cos α · t.
Почему траектория движения тела имеет форму параболы?
Координата x линейно зависит от времени, а координата y содержит квадрат времени. Если исключить время из этих уравнений, получается зависимость y от x с квадратом x — уравнение параболы.
§ 9. Движение тел, брошенных под углом к горизонту
