§ 9. Сложение скоростей и переход в другую систему отсчёта при движении на плоскости

Определения и обозначения

Система отсчёта — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы. Скорость всегда задают относительно выбранной системы: например, можно описать движение лодки относительно воды или берега. Без указания системы значение скорости неполно, потому что наблюдатели могут получить разные результаты.

Относительная скорость — скорость тела относительно подвижной системы отсчёта. Например, скорость пассажира, идущего по салону автобуса, относительно автобуса является относительной. Она нужна, чтобы описать движение тела внутри системы, которая сама может перемещаться.

Переносная скорость — скорость подвижной системы отсчёта относительно неподвижной. Так, скорость воды относительно берега — переносная для лодки, движение которой описывают относительно воды. Эта величина показывает, как движется сама система, в которой находится тело.

Абсолютная скорость — скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта. Для лодки такой системой может быть связанная с берегом система координат. Абсолютная скорость зависит от выбора неподвижной системы, поэтому при решении задачи нужно ясно указать, относительно чего именно её ищут.

Как это устроено

Один и тот же путь можно описывать относительно разных наблюдателей. Пассажир, сидящий в движущемся автобусе, покоится относительно автобуса, но перемещается относительно дороги. Причина различия в том, что тела отсчёта сами могут иметь разное движение, поэтому скорость нельзя считать свойством тела без уточнения системы.

Связь между положениями удобно представить через координаты. Пусть подвижная система переместилась относительно неподвижной на вектор rпер, а тело сместилось внутри неё на вектор rотн. Тогда положение тела относительно неподвижной системы задаётся суммой этих перемещений: rабс = rотн + rпер. Это следует из того, что путь от начала неподвижной системы к телу можно пройти через начало подвижной системы.

Чтобы получить скорости, рассматривают, как меняются все три перемещения за одно и то же время. Если за время Δt разделить каждое перемещение на Δt, получатся соответствующие скорости. Поэтому абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной: vабс = vотн + vпер.

На плоскости скорость имеет и модуль, и направление, поэтому её изображают вектором. При сложении можно поставить начало второго вектора в конец первого; результирующий вектор соединит начало первого с концом второго. Если направления образуют угол, модуль суммы зависит от этого угла: именно поэтому нельзя во всех случаях складывать только числовые значения скоростей.

Для вычислений векторы раскладывают на проекции по двум перпендикулярным осям, например x и y. По каждой оси проекции складываются отдельно: vабс,x = vотн,x + vпер,x, vабс,y = vотн,y + vпер,y. Затем модуль находят по формуле vабс = √(vабс,x² + vабс,y²), а направление — по соотношению проекций и их знакам.

Скорости тела при переходе между системами отсчёта

Сначала определите, какая система подвижная, и подпишите, относительно чего задана каждая скорость. Затем используйте векторное равенство или его проекции на оси. Знаки проекций зависят от выбранных положительных направлений.

Разбор задач

Лодка и течение

Лодка движется поперёк реки со скоростью 4 м/с относительно воды, а вода течёт со скоростью 3 м/с. Найдём скорость лодки относительно берега. Скорость лодки относительно воды направлена поперёк реки, а скорость течения — вдоль берега.

1. Запишем правило перехода: vабс = vотн + vпер. В этой задаче vотн — скорость лодки относительно воды, а vпер — скорость воды относительно берега.

2. Векторы взаимно перпендикулярны. Поэтому модуль абсолютной скорости находим по теореме Пифагора: vабс = √(4² + 3²) = 5 м/с.

3. Направление скорости отклонено по течению от направления поперёк реки. Угол отклонения α можно найти из tg α = 3/4, то есть α ≈ 37°.

Ответ: скорость лодки относительно берега равна 5 м/с и направлена под углом примерно 37° по течению от направления поперёк реки.

Самолёт и ветер

Самолёт летит со скоростью 200 км/ч относительно воздуха, движущегося на восток со скоростью 30 км/ч. Пусть направление самолёта относительно воздуха образует угол θ с востоком. Найдём скорость самолёта относительно земли через проекции.

1. Выберем ось x на восток, а ось y — перпендикулярно ей. Проекции скорости самолёта относительно воздуха равны 200 cos θ и 200 sin θ, если угол отсчитывается от положительного направления оси x.

2. К скорости по оси x прибавим скорость ветра, а по оси y добавится ноль: vабс,x = 200 cos θ + 30, vабс,y = 200 sin θ. Если самолёт направлен южнее или севернее востока, знак y-проекции выбирают соответственно.

3. Скорость относительно земли найдём по формуле vабс = √(vабс,x² + vабс,y²). Угол направления к востоку определим по tg φ = vабс,y/vабс,x с учётом знаков проекций.

Ответ: vабс = √((200 cos θ + 30)² + (200 sin θ)²) км/ч; направление задаётся углом φ = arctg(200 sin θ/(200 cos θ + 30)) с учётом четверти. Численные значения скорости и угла можно получить, когда задано конкретное значение θ.

Катер должен прийти прямо напротив

Катер должен попасть в точку противоположного берега, расположенную прямо напротив места старта. Пусть скорость течения равна u, скорость катера относительно воды — v, а ширина реки — L. Требуется найти курс катера и время переправы.

1. Ось x направим вдоль течения, а ось y — поперёк реки. Чтобы катер пришёл прямо напротив, его абсолютная скорость вдоль x должна быть равна нулю.

2. Пусть α — угол, на который курс направлен против течения от направления поперёк реки. Тогда проекция относительной скорости на x равна −v sin α, а скорость воды — u. Из условия vабс,x = 0 получаем −v sin α + u = 0, поэтому sin α = u/v.

3. Поперечная скорость катера относительно берега равна v cos α = √(v² − u²). Время переправы равно ширине реки, делённой на эту скорость: t = L/√(v² − u²).

Ответ: держать курс под углом α = arcsin(u/v) против течения от направления поперёк берега; время переправы t = L/√(v² − u²). Такой переход возможен, если v больше u: иначе катер не сможет компенсировать течение.

Типичные ошибки

Первая ошибка — складывать модули скоростей, не учитывая угол между векторами. Её допускают, когда воспринимают скорость как обычное число; так можно ошибиться даже при движении на плоскости. Проверьте, совпадают ли направления: если нет, сложите векторы или их проекции.

Вторая ошибка — поменять местами относительную и переносную скорости. Относительная относится к движению тела внутри подвижной системы, переносная — к движению самой системы относительно неподвижной. Перед вычислениями подпишите, например, «лодка относительно воды» и «вода относительно берега».

Третья ошибка — считать скорость относительно берега такой же, как скорость относительно воды или воздуха. Причина в том, что движение среды забывают учесть, хотя она сама перемещается относительно берега или земли. Для проверки запишите все системы и используйте vабс = vотн + vпер.

Четвёртая ошибка — неверно выбрать знаки проекций. Обычно это происходит, если направления осей не обозначены до записи уравнений. Нарисуйте оси, отметьте направления векторов и только потом ставьте знаки: проекция положительна вдоль выбранного положительного направления и отрицательна против него.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны понятия системы отсчёта, вектора скорости и проекции вектора на ось. Тема опирается на сложение и разложение векторов, а также на равномерное движение и связь перемещения со скоростью. Эти знания применяются в задачах о лодках на течении, самолётах на ветру, эскалаторах и телах внутри движущихся систем. В каждом случае сначала уточняют, относительно чего задана скорость.

Что запомнить

• Скорость всегда указывают относительно выбранной системы отсчёта.
• Скорость тела относительно неподвижной системы называют абсолютной.
• Скорость подвижной системы относительно неподвижной называют переносной.
• Абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростей.
• При движении на плоскости скорости складывают как векторы, а не как числа.
• Для расчётов удобно разложить векторы на проекции по двум взаимно перпендикулярным осям.