"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Катящееся колесо одновременно перемещается вперёд и вращается вокруг центра, поэтому скорости разных его точек относительно дороги неодинаковы. При качении без скольжения точка обода, касающаяся дороги, мгновенно покоится, а верхняя точка движется вдвое быстрее центра. Связь поступательного и вращательного движения задаёт формула v = ωR. Она помогает находить скорости точек колеса и объясняет, почему колесо катится, а не скользит.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Качение без скольжения — движение колеса, при котором точка обода в месте соприкосновения с дорогой мгновенно покоится относительно дороги. Иными словами, колесо не проскальзывает по поверхности в точке контакта. Это условие позволяет связать перемещение колеса с его вращением и определить скорости разных точек обода.
Скорость центра колеса обозначают v. Она показывает, как быстро и в каком направлении перемещается центр относительно дороги; при равномерном качении это скорость поступательного движения колеса. Зная её, можно сравнивать скорости точек колеса с движением всего колеса.
Угловая скорость колеса обозначают ω. Она показывает, на какой угол колесо поворачивается за единицу времени, и обычно измеряется в радианах в секунду. В отличие от линейной скорости точки обода, угловая скорость одна и та же для всего колеса.
Мгновенный центр скоростей — точка тела, скорость которой в данный момент равна нулю относительно выбранной системы отсчёта. При качении без скольжения такой точкой для колеса служит место контакта с дорогой. Поэтому в этот момент движение колеса можно представить как вращение вокруг точки контакта, хотя она не остаётся центром вращения надолго.
Движение колеса удобно разбирать как сочетание двух движений: центр перемещается вперёд, а колесо вращается вокруг центра. Поэтому скорость любой точки относительно дороги складывается из скорости центра и скорости этой точки относительно центра. Сложение выполняют как сложение векторов: учитывают не только длины скоростей, но и их направления.
За один и тот же промежуток времени центр колеса проходит расстояние s, а колесо поворачивается на угол φ. При качении без скольжения пройденный путь равен длине дуги обода: s = Rφ. Если разделить обе части на время, получим скорость центра v = Rω, то есть v = ωR. Причина равенства в том, что поверхность колеса и дорога в точке контакта не смещаются друг относительно друга.
В нижней точке обода скорость относительно центра направлена назад, против движения колеса. Её модуль равен ωR, а при качении без скольжения ωR = v, поэтому она компенсирует скорость центра. Векторная сумма равна нулю: точка контакта мгновенно покоится относительно дороги. В верхней точке скорость из-за вращения, напротив, направлена вперёд и равна v, поэтому вместе со скоростью центра даёт 2v.
У других точек обода направление скорости относительно центра меняется вместе с их положением: она всегда направлена по касательной к окружности. К этой скорости прибавляется направленная вперёд скорость центра, поэтому меняется и итоговое направление движения точки. В верхней точке обе составляющие направлены одинаково, и скорость максимальна — 2v; в нижней они взаимно уничтожаются. Например, у точки сбоку составляющие перпендикулярны, поэтому модуль результирующей скорости равен √2v.
Нулевой является скорость точки контакта только в конкретный момент времени. Когда колесо поворачивается, прежняя точка обода поднимается над дорогой, а к поверхности подходит другая. При этом центр продолжает двигаться вперёд, а колесо — вращаться, так что колесо в целом не покоится.
| Точка колеса | Скорость относительно центра | Скорость относительно дороги | Направление скорости относительно дороги |
|---|---|---|---|
| Точка контакта с дорогой | v, назад | 0 | Скорость равна нулю |
| Центр колеса | 0 | v | Вперёд |
| Верхняя точка обода | v, вперёд | 2v | Вперёд |
| Точка обода, не совпадающая с верхней или нижней | v по касательной | Зависит от положения; у боковой точки √2v | Зависит от положения; у боковой точки под углом 45° вверх или вниз |
В таблице скорость относительно центра описывает только вращательную часть движения, а скорость относительно дороги учитывает ещё и перемещение центра. Направления указаны для колеса, которое катится вперёд; у боковой точки вертикальная составляющая может быть направлена вверх или вниз. Для любой точки складывайте составляющие как векторы, а не просто складывайте их модули.
Ответ: ω = 5 рад/с.
Ответ: 8 м/с вперёд.
Ответ: √2v; направление — под углом 45° вверх или вниз к направлению движения, в зависимости от того, с какой стороны от центра расположена точка.
Ошибка: считать, что все точки колеса движутся относительно дороги с одинаковой скоростью. Её допускают, потому что всё колесо действительно имеет общую скорость поступательного движения, но вращение добавляет каждой точке свою составляющую. Проверьте себя: скорость относительно дороги получают сложением двух скоростей, причём вращательная зависит от положения точки. Поэтому у центра скорость v, а у верхней точки — 2v.
Ошибка: приравнивать скорость точки контакта к скорости центра. Такое может показаться естественным, если представлять колесо просто перемещающимся вперёд. Но скорость вращения нижней точки направлена назад и при качении без скольжения равна по модулю v. Сложив векторы, получим ноль, а не скорость центра.
Ошибка: считать, что верхняя точка движется со скоростью v. Это происходит, если учесть только перемещение центра и забыть о вращении колеса. У верхней точки вращательная скорость также направлена вперёд и имеет модуль v. Проверка проста: при качении без скольжения обе составляющие совпадают по направлению, значит, их нужно сложить и получить 2v.
Ошибка: считать точку контакта неподвижной постоянно. Точка действительно покоится относительно дороги в момент касания, но колесо поворачивается и уносит её вверх. Затем контакта достигает другая точка обода. Проверяйте рассуждение по движению колеса: если бы одна точка оставалась на дороге всё время, колесо не могло бы катиться вперёд.
Чтобы разбирать движение катящегося колеса, нужно уметь складывать векторы скоростей и знать связь линейной и угловой скоростей при вращении: u = ωR. При первом изучении важно различать скорость точки относительно центра и скорость относительно дороги. Вторая включает также скорость поступательного движения центра.
Представление о качении помогает описывать движение твёрдого тела, вращение колёс и взаимодействие колеса с дорогой. Условие отсутствия скольжения связывает вращение и перемещение, а значит, позволяет проверять, достаточно ли сцепления для заданного движения. Те же идеи применяют при анализе механизмов с катящимися деталями.
Почему нижняя точка колеса не скользит по дороге?
При качении без скольжения скорость нижней точки из-за вращения направлена назад и равна по модулю скорости центра. Эти скорости складываются и взаимно компенсируются, поэтому относительно дороги точка мгновенно покоится.
Почему верхняя точка колеса движется вдвое быстрее центра?
Скорость верхней точки относительно центра направлена вперёд и равна скорости центра. При сложении с поступательной скоростью центра получается 2v.
Как связаны скорость центра колеса и его угловая скорость?
Для качения без скольжения скорость центра v равна произведению угловой скорости ω на радиус колеса R: v = ωR. Чем больше ω при том же радиусе, тем быстрее движется центр.
Остаётся ли точка контакта с дорогой неподвижной всё время?
Нет, её покой мгновенный. Когда колесо поворачивается, прежняя точка отрывается от дороги, а контакта достигает другая точка обода.
Как найти скорость точки обода, которая находится сбоку от центра?
Сложите вектор скорости центра с вектором скорости точки относительно центра, направленным по касательной к окружности. Для боковой точки эти векторы перпендикулярны, поэтому модуль скорости равен √2v, а направление составляет угол 45° с направлением движения.
5. Катящееся колесо
