5. Катящееся колесо

Определения и обозначения

Качение без скольжения — движение колеса, при котором точка его обода, касающаяся опоры, в этот момент покоится относительно опоры. Это не означает, что колесо или одна и та же точка всё время неподвижны. Условие позволяет связать путь центра s и угол поворота φ формулой s = Rφ.

Мгновенный центр вращения — точка колеса, скорость которой в данный момент равна нулю. При качении без скольжения такой точкой является место контакта колеса с опорой. Это представление упрощает описание движения: в каждый момент колесо можно мысленно считать вращающимся вокруг этой точки.

Циклоида — траектория точки на ободе колеса, катящегося без скольжения по прямой. Она состоит из повторяющихся арок, соединённых острыми точками в местах касания с опорой. Понятие нужно, чтобы описывать движение конкретной точки колеса относительно дороги, а не только движение его центра.

Мгновенная скорость точки колеса — её скорость в данный момент времени. При качении она складывается из скорости центра и скорости точки относительно центра, возникающей из-за вращения. Поэтому у разных точек одного колеса скорости могут иметь разные направления и значения.

Как это устроено

За время поворота колеса на угол φ обод проходит по окружности длину дуги Rφ. При качении без скольжения эта длина равна пути центра, потому что обод не проскальзывает по опоре. Поэтому возникает связь s = Rφ, а после деления на время — v = Rω.

Скорость точки колеса находят сложением двух скоростей: скорости поступательного движения центра и скорости вращения точки вокруг центра. У нижней точки вращательная скорость направлена назад, поскольку колесо вращается навстречу движению в месте контакта. Её модуль равен скорости центра, поэтому результирующая скорость нижней точки равна нулю.

Если скорость точки контакта равна нулю, её можно принять за мгновенный центр вращения. Тогда колесо в данный момент рассматривается как тело, вращающееся вокруг этой точки, хотя через следующий момент центром станет уже другая точка обода. Скорости точек пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра: чем дальше точка, тем больше её скорость.

Точка обода перемещается вместе с центром вправо и одновременно описывает окружность вокруг центра. Сложение этих перемещений даёт не окружность и не прямую, а циклоиду. За один полный оборот колесо смещается на 2πR, и выбранная точка образует одну арку этой кривой.

В верхней точке обода вращательная скорость направлена вперёд, так же как и скорость центра. При качении без скольжения обе скорости равны по модулю v, поэтому скорость верхней точки равна 2v. В точке контакта направления противоположны, и скорость равна нулю.

Движение характерных точек катящегося без скольжения колеса

Таблица помогает не смешивать движение центра с движением точек обода. Для каждой точки нужно учитывать обе составляющие скорости и их направления. Значение «0» у точки контакта относится только к конкретному моменту касания опоры.

Разбор задач

Задача 1

Колесо радиусом 0,30 м катится без скольжения и делает один полный оборот. Требуется найти расстояние, которое проходит его центр. Используем связь поступательного пути с углом поворота, а полный оборот соответствует углу 2π.

1. Записываем формулу: s = Rφ.
2. Подставляем угол полного оборота: φ = 2π.
3. Получаем s = 0,30 · 2π = 0,60π м ≈ 1,88 м.

Ответ: центр колеса проходит 0,60π м, или примерно 1,88 м. Это расстояние равно длине окружности колеса, потому что за один оборот без проскальзывания обод соприкасается с опорой по длине одной окружности.

Задача 2

Центр колеса движется со скоростью 2 м/с. Найдём скорости верхней точки обода и точки контакта с дорогой. При качении без скольжения вращательная скорость точки обода по модулю равна скорости центра.

1. Для верхней точки обе составляющие направлены вперёд: vверх = v + v.
2. Подставляем значение скорости центра: vверх = 2 · 2 = 4 м/с.
3. Для точки контакта направления противоположны: vконт = v − v = 0.

Ответ: верхняя точка движется со скоростью 4 м/с, а точка контакта мгновенно покоится относительно дороги. Нулевая скорость не означает остановку колеса: в следующий момент контактировать с дорогой будет уже другая точка.

Задача 3

Точка на ободе радиусом R начинает движение в точке контакта с горизонтальной дорогой. Запишем её координаты через угол поворота φ и определим траекторию. Пусть ось x направлена вдоль движения, а начало координат находится в начальной точке контакта.

1. Центр смещается на xц = Rφ и остаётся на высоте R.
2. Координаты точки относительно центра при вращении: xотн = −R sin φ, yотн = −R cos φ.
3. Складываем координаты: x = R(φ − sin φ), y = R(1 − cos φ).

Ответ: полученные параметрические уравнения задают циклоиду. При φ = 0 точка находится на дороге, при φ = π достигает высоты 2R, а при φ = 2π снова касается дороги и завершает одну арку.

Типичные ошибки

Считать, что все точки колеса имеют одинаковые скорости. Эту ошибку допускают, забывая о вращении: точки находятся на разных расстояниях от мгновенного центра и имеют разные направления движения. Проверка проста: сравните центр, верхнюю и нижнюю точки.

Приравнивать скорость точки обода скорости центра. Так можно ошибочно получить одинаковые значения для всех точек. При качении в верхней точке скорости складываются и дают 2v, а в контакте вычитаются и дают ноль.

Считать, что точка контакта всё время одна и та же. Нулевая скорость относится к точке, которая касается дороги именно сейчас, а не ко всему ободу. Проследите за меткой на ободе: после оборота она поднимется и снова вернётся к опоре.

Путать мгновенный покой с отсутствием движения в течение всего качения. Точка контакта покоится относительно земли лишь в один момент, после чего начинает двигаться вместе с колесом. Проверяйте смысл слова «мгновенно»: оно означает состояние в данный момент времени.

Связь с другими темами

Для изучения качения нужны понятия поступательного движения, вращения твёрдого тела, угловой скорости и сложения скоростей. Именно сложение переносной и вращательной скоростей объясняет различия между центром, верхней и нижней точками колеса.

Связь поступательного и вращательного движения пригодится при изучении динамики твёрдого тела. Она также используется при анализе движения тел по наклонной плоскости, когда одновременно рассматривают перемещение тела и его вращение.

Что запомнить

• При качении без скольжения путь центра равен Rφ.
• Скорость центра равна Rω.
• Точка контакта с опорой мгновенно покоится относительно опоры.
• Верхняя точка обода движется со скоростью 2v центра.
• Траектория точки обода относительно опоры — циклоида.
• Скорость точки колеса находят сложением поступательной и вращательной скоростей.