§ 10. «Секреты» прямолинейного равноускоренного движения

Определения и обозначения

Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой с постоянным ускорением. «Равноускоренное» не обязательно означает, что тело всё время разгоняется: оно может и замедляться. Это понятие позволяет описывать движение небольшим набором формул.

Ускорение — векторная величина, показывающая изменение скорости за единицу времени; при равноускоренном движении оно постоянно. Его обозначают a и измеряют в м/с². Знак ускорения зависит от выбранной оси, а не от того, разгоняется тело или тормозит.

Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени; её находят по формуле v = v₀ + at. Здесь v₀ — скорость в начале отсчёта времени, t — время движения. Формула помогает определить, как меняется скорость и когда она станет равна нулю.

Перемещение показывает изменение положения тела, а координата указывает его положение относительно начала отсчёта. Связь между ними задаётся выражением x = x₀ + v₀t + at²/2, где x₀ — начальная координата. По этой формуле можно найти положение тела в любой момент, если известны начальные условия.

Как это устроено

По определению ускорение равно изменению скорости, делённому на время: a = (v − v₀)/t. При постоянном a умножаем обе части на t и получаем v − v₀ = at, откуда v = v₀ + at. Поэтому скорость изменяется линейно: за одинаковые промежутки времени она получает одинаковые приращения.

Чтобы получить перемещение, можно использовать среднюю скорость: s = vсрt. При постоянном ускорении скорость меняется равномерно от v₀ до v, поэтому средняя скорость равна их полусумме: vср = (v₀ + v)/2. Подставляя v = v₀ + at, получаем s = v₀t + at²/2. Тот же результат виден на графике скорости: площадь под прямой v(t) складывается из прямоугольника v₀t и треугольника at²/2.

Координата равна начальной координате плюс перемещение: x = x₀ + s. Поэтому в формулу перемещения добавляют x₀ и получают x = x₀ + v₀t + at²/2. Начало отсчёта можно передвинуть: тогда численные значения координат изменятся, но перемещение между двумя положениями и характер движения останутся прежними.

Знак скорости показывает направление движения, а знак ускорения — направление изменения скорости. Если v и a одного знака, модуль скорости растёт; если знаки разные — уменьшается. При постоянном ускорении противоположного знака скорость может дойти до нуля, а затем поменять знак: тело остановится и поедет обратно. Условие остановки находят из v₀ + at = 0.

Иногда время в задаче неизвестно и не требуется. Из v = v₀ + at выражают t, а затем подставляют его в формулу перемещения; после преобразования получается v² − v₀² = 2as. Эта связь удобна, когда известны начальная и конечная скорости, ускорение и перемещение, но не длительность движения. Она не заменяет основные формулы, а помогает обойтись без промежуточного вычисления времени.

Основные величины и формулы прямолинейного равноускоренного движения

Сначала выберите формулу, которая связывает известные величины с искомой, и проверьте, учтены ли начальные условия. Скорость и ускорение подставляйте со знаками относительно одной и той же оси. Если время неизвестно и не нужно, попробуйте связь v² − v₀² = 2as.

Разбор задач

Автомобиль начинает движение из состояния покоя с ускорением 2 м/с². Найти его скорость и перемещение через 5 с.

Состояние покоя означает v₀ = 0. Начало координат удобно выбрать в точке старта, тогда начальная координата равна нулю, а перемещение совпадает с координатой. Ускорение направлено вдоль движения, поэтому его знак положительный.

1. Найдём скорость: v = v₀ + at = 0 + 2 · 5 = 10 м/с.
2. Найдём перемещение: s = v₀t + at²/2 = 0 + 2 · 5²/2 = 25 м.
3. Проверим смысл результата: скорость выросла с нуля, а за пять секунд автомобиль прошёл положительное расстояние.

Ответ: скорость 10 м/с, перемещение 25 м.

Тело движется со скоростью 12 м/с и начинает равномерно замедляться с ускорением −3 м/с². Найти время остановки и тормозной путь.

Выберем положительное направление вдоль начального движения. Тогда v₀ = 12 м/с, а ускорение отрицательно, потому что направлено против скорости. Остановка наступит, когда скорость станет равна нулю.

1. Из v = v₀ + at при v = 0 получаем 0 = 12 − 3t, откуда t = 4 с.
2. Вычислим перемещение до остановки: s = v₀t + at²/2 = 12 · 4 − 3 · 4²/2 = 48 − 24 = 24 м.
3. До остановки направление не менялось, поэтому перемещение равно тормозному пути. Проверка по формуле без времени даёт 0² − 12² = 2 · (−3) · 24.

Ответ: тело остановится через 4 с; тормозной путь равен 24 м.

Камень брошен вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Найти максимальную высоту подъёма и время возвращения в исходную точку, пренебрегая сопротивлением воздуха.

Положительное направление выберем вверх, а начало координат совместим с точкой броска. Тогда v₀ = 20 м/с, x₀ = 0, а ускорение свободного падения направлено вниз: a = −10 м/с². В верхней точке скорость равна нулю.

1. Для высоты применим формулу без времени: 0² − 20² = 2 · (−10) · s. Отсюда s = 20 м.
2. Время подъёма найдём из условия v = 0: 0 = 20 − 10t, поэтому t = 2 с.
3. При возвращении в исходную точку координата снова равна нулю. Поскольку ускорение постоянно и сопротивления воздуха нет, движение вниз занимает столько же времени, сколько подъём: 2 с.

Ответ: максимальная высота подъёма 20 м, время возвращения — 4 с.

Типичные ошибки

Считать ускорение положительным лишь потому, что тело разгоняется, — неверно: знак задаёт выбранное направление оси. Эту ошибку допускают, смешивая знак ускорения с увеличением модуля скорости. Проверьте себя: сначала нарисуйте ось, затем укажите направления скорости и ускорения.

После разворота перемещение принимают за пройденный путь. Перемещение учитывает направление и может быть нулевым при возвращении в исходную точку, тогда как путь складывает длины всех участков. Чтобы проверить ответ, разделите движение в момент остановки и отдельно найдите путь на каждом участке.

Формулу s = vt используют при любом движении, хотя она верна для постоянной скорости. При ускорении тело за разные промежутки времени проходит неодинаковые расстояния, поэтому в этой формуле нужна средняя скорость, а не мгновенная. Проверьте, менялась ли скорость; если да, используйте s = vсрt или формулу равноускоренного перемещения.

Забывают начальную скорость или начальную координату и тем самым незаметно принимают их равными нулю. Так получают ответ только для частного случая старта из покоя или из начала координат. Перед подстановкой выпишите v₀ и x₀ из условия и проверьте, действительно ли они равны нулю.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определения скорости, ускорения, перемещения и координаты, а также умение задавать ось и работать со знаками. Она продолжает изучение графиков: наклон графика координаты связан со скоростью, а наклон графика скорости — с ускорением. Формулы применяют при решении задач о свободном падении, торможении транспорта и движении по наклонной плоскости. Позже они помогают описывать движение при изучении законов Ньютона.

Что запомнить

• При равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Скорость изменяется линейно со временем: v = v₀ + at.
• Перемещение зависит от времени линейно и квадратично: s = v₀t + at²/2.
• Координата равна начальному положению плюс перемещение.
• При постоянном ускорении средняя скорость равна полусумме начальной и конечной скоростей.
• Знак скорости задаёт направление движения, а знак ускорения — направление изменения скорости.
• Если время неизвестно, часто удобна формула v² − v₀² = 2as.