"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Положение и скорость тела описывают относительно выбранной системы отсчёта, поэтому при смене системы численные значения могут измениться. Преобразования Галилея позволяют пересчитать координаты и скорости между системами, движущимися равномерно и прямолинейно. В классической механике время при таком переходе считают одинаковым, а ускорение тела не меняется. Эти правила помогают решать задачи о поездах, течении воды и движении тел относительно друг друга.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система отсчёта — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и способ измерять время. Например, положение пассажира можно задавать относительно вагона или относительно Земли. Выбор системы нужен, чтобы однозначно описать, где находится тело и как оно движется. Одно и то же движение может выглядеть по-разному для наблюдателей в разных системах.
Переход в другую систему отсчёта — пересчёт координат и характеристик движения тела при смене системы, относительно которой его описывают. Например, скорость пассажира относительно поезда не обязана совпадать с его скоростью относительно земли. Такой пересчёт нужен, когда в задаче известны величины в одной системе, а найти требуется в другой. Для него важно знать, как движутся сами системы друг относительно друга.
Преобразования Галилея — соотношения между координатами и временем в двух инерциальных системах, одна из которых движется относительно другой с постоянной скоростью. Инерциальной называют систему, в которой тело при отсутствии внешнего воздействия покоится или движется равномерно и прямолинейно. Преобразования позволяют переводить описание движения из одной такой системы в другую. Они относятся к классической механике и предполагают одинаковое время в обеих системах.
Относительная скорость — скорость тела в одной системе отсчёта, выраженная через его скорость в другой системе и скорость движения самих систем. Для движения вдоль одной оси скорости складывают как проекции, учитывая их направления. Это понятие помогает переходить, например, от скорости катера относительно воды к скорости относительно берега. Знак скорости показывает направление, а модуль — её величину.
Зададим две инерциальные системы K и K′. Пусть K′ движется относительно K вдоль оси x, а начала координат совпадают в момент t = 0. Положительное направление оси x выберем по направлению движения K′, поэтому скорость системы K′ относительно K обозначим u и считаем положительной. Если движущаяся система направлена против выбранной оси, её скорость u будет отрицательной проекцией.
Через время t начало координат K′ окажется в точке x = ut системы K. Если тело имеет координату x в K, то его координата относительно начала K′ равна расстоянию x за вычетом перемещения этого начала: x′ = x − ut. Отсюда обратная запись — x = x′ + ut. Системы смещаются только вдоль x, поэтому поперечные координаты не меняются: y′ = y и z′ = z. Знак в формуле следует из того, чьё положение мы вычитаем: здесь координату тела в K сравниваем с перемещением начала K′.
В классической механике время считают общим для обеих систем: t′ = t. Это допущение означает, что наблюдатели не связывают ход часов с равномерным движением систем друг относительно друга. Вместе с координатными соотношениями оно образует преобразования Галилея: x′ = x − ut, y′ = y, z′ = z, t′ = t. Такие формулы применяют, когда системы инерциальны и рассматривают обычные, не близкие к скорости света движения.
Чтобы найти связь скоростей, продифференцируем координату по времени: из x′ = x − ut при постоянной u следует v′ₓ = vₓ − u. Иначе говоря, скорость тела в K равна скорости в K′ плюс скорость K′ относительно K: vₓ = v′ₓ + u. Например, если поезд движется вправо, а пассажир идёт в том же направлении, обе проекции положительны и складываются; если идёт назад, его скорость относительно поезда отрицательна. Поэтому направление нужно учитывать до вычислений, а не определять по одному лишь модулю скорости.
Скорость движения систем u постоянна, поэтому при ещё одном дифференцировании она исчезает: ускорения в K и K′ равны, a′ = a. Иными словами, наблюдатели, движущиеся равномерно и прямолинейно друг относительно друга, измеряют одинаковое ускорение тела. Поэтому законы механики, связывающие ускорение с действующими силами, имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах. Если же система сама движется с ускорением, этот вывод применять нельзя.
| Величина | Связь между K и K′ | Условие или смысл |
|---|---|---|
| Координата x | x′ = x − ut; x = x′ + ut | K′ движется вдоль оси x со скоростью u относительно K |
| Координаты y и z | y′ = y; z′ = z | Движение систем направлено вдоль оси x |
| Время | t′ = t | Классическое приближение |
| Скорость вдоль x | v′ₓ = vₓ − u; vₓ = v′ₓ + u | Скорости систем и тела учитываются с направлением |
| Ускорение | a′ = a | Системы движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно |
Сначала выберите направление оси и определите, какая система движется относительно другой. Затем подставляйте проекции скоростей со знаками, а не только их модули. Формулы для координат учитывают также время, прошедшее с момента совпадения начал систем.
Задача 1. Поезд движется относительно земли со скоростью 20 м/с. Пассажир идёт по вагону вперёд со скоростью 1,5 м/с относительно поезда. Найдём скорость пассажира относительно земли. Направление движения поезда и пассажира примем за положительное.
Обозначим земную систему K, а систему поезда K′. Скорость поезда относительно земли равна u = 20 м/с, скорость пассажира относительно поезда — v′ₓ = 1,5 м/с.
Используем правило перехода к земной системе: vₓ = v′ₓ + u. Обе скорости направлены одинаково, поэтому их проекции положительны и складываются: vₓ = 1,5 + 20 = 21,5 м/с.
Ответ: скорость пассажира относительно земли равна 21,5 м/с в направлении движения поезда. Если бы пассажир шёл назад, его скорость относительно поезда имела бы отрицательный знак и вычиталась бы из скорости поезда.
Задача 2. Катер движется относительно берега со скоростью 6 м/с, а течение направлено навстречу катеру и имеет скорость 2 м/с относительно берега. Требуется найти скорость катера относительно воды. Положительное направление выберем по движению катера относительно берега.
Скорость катера относительно берега — vк/б = +6 м/с. Скорость воды относительно берега направлена противоположно, поэтому vв/б = −2 м/с.
Свяжем скорости катера, воды и берега: vк/б = vк/в + vв/б. Тогда vк/в = vк/б − vв/б = 6 − (−2) = 8 м/с.
Ответ: катер движется относительно воды со скоростью 8 м/с по выбранному направлению. Проверка здравого смысла: катеру приходится двигаться относительно воды быстрее, чем относительно берега, поскольку течение ему мешает.
Задача 3. Система K′ движется со скоростью 8 м/с вдоль оси x относительно K. В момент t = 3 с координата тела в K′ равна 12 м, а его скорость и ускорение в K′ составляют −2 м/с и 1 м/с². Найдём координату, скорость и ускорение тела в K.
По условию u = 8 м/с, x′ = 12 м и t = 3 с. Для обратного перехода к системе K используем x = x′ + ut: x = 12 + 8 · 3 = 36 м.
Скорость в K равна vₓ = v′ₓ + u. Подставим значения с их знаками: vₓ = −2 + 8 = 6 м/с. Отрицательная скорость в K′ означает, что тело движется против направления оси относительно этой системы.
Поскольку системы движутся равномерно и прямолинейно, ускорение не меняется: a = a′ = 1 м/с². Единицы координаты, скорости и ускорения остаются соответственно метрами, метрами в секунду и метрами в секунду в квадрате.
Ответ: x = 36 м, vₓ = 6 м/с, a = 1 м/с² в системе K.
Можно перепутать направление скорости системы со знаком в формуле x′ = x − ut. Ошибка возникает, если подставить модуль u, не выяснив, в какую сторону движется K′ и в какой системе ищут координату. Проверьте себя по смыслу: если начало K′ уезжает в положительную сторону, координата неподвижного тела относительно него должна уменьшаться. Для обратного перехода используйте x = x′ + ut.
Ещё одна ошибка — складывать модули скоростей, не учитывая направление движения. Так поступают, когда слова «навстречу» или «вперёд» не переводят в знак проекции на выбранную ось. Назначьте положительное направление и запишите каждую скорость со знаком до подстановки. Если скорости направлены навстречу, их проекции имеют разные знаки.
При переходе между системами координата тела не обязана оставаться прежней. Такое заблуждение появляется, если считать, что координата описывает тело само по себе, а не его положение относительно начала координат. Подставьте время в формулу x′ = x − ut и проверьте, переместилось ли начало движущейся системы. При t = 0 начала совпадают, но позднее их координаты могут различаться.
Нельзя считать ускорения одинаковыми, если системы движутся друг относительно друга с ускорением. Равенство a′ = a получается только при постоянной относительной скорости; ошибку допускают, забывая это условие. Перед применением формулы проверьте, равномерно и прямолинейно ли движется одна система относительно другой. Если её скорость меняется, приведённое преобразование ускорения не подходит.
Для перехода между системами отсчёта нужно уметь задавать координатную ось, определять положение тела и находить скорость как изменение координаты за время. Эти навыки нужны и при описании движения поезда, автомобиля или катера. Правило сложения скоростей применяют в задачах о транспорте, течении реки и ветре, когда важно различать скорость относительно среды и относительно берега или земли. Тема подготавливает к изучению инерциальных систем и законов Ньютона: в классической механике преобразования Галилея связывают описания движения в таких системах. При очень больших скоростях классического приближения уже недостаточно, и его сопоставляют с преобразованиями специальной теории относительности.
Почему при переходе в движущийся поезд координата тела меняется?
Координата показывает положение тела относительно начала выбранной системы. Начало координат поезда перемещается относительно земли, поэтому расстояние от него до тела может отличаться от расстояния до земного начала. Изменение координаты зависит также от времени движения поезда.
Как понять, какой знак ставить в формуле x′ = x − ut?
Сначала задайте направление оси и определите, куда движется K′ относительно K: в формуле u — проекция скорости K′ на эту ось. Если K′ движется в положительном направлении, x′ = x − ut; обратная запись будет x = x′ + ut. Если направление движения противоположное, проекция u отрицательна.
Почему время в преобразованиях Галилея считается одинаковым?
В классической механике предполагают, что время течёт одинаково во всех инерциальных системах. Поэтому событие имеет один и тот же момент времени в K и K′: t′ = t. Это классическое приближение, применяемое при обычных скоростях, намного меньших скорости света.
Как складывать скорости, если тела движутся в противоположных направлениях?
Выберите положительное направление оси и запишите скорости как проекции: в одну сторону — со знаком плюс, в другую — со знаком минус. Затем используйте правило сложения проекций, например vₓ = v′ₓ + u. Складывать нужно числа со знаками, а не только модули скоростей.
Всегда ли ускорение тела одинаково в разных системах отсчёта?
Ускорение одинаково в системах, которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Если одна система ускоряется, её скорость меняется, и ускорения тела в системах могут различаться. Поэтому перед применением равенства a′ = a нужно проверить, как движутся сами системы.
2. Переход в другую систему отсчёта
