"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Движение тела описывают относительно выбранной системы отсчёта, поэтому координаты и скорость одного и того же тела могут быть разными для разных наблюдателей. Преходя от одной инерциальной системы к другой, используют преобразования Галилея: они связывают координаты, время и скорость. В классической механике время и ускорение при таком переходе не меняются, а скорость зависит от движения системы отсчёта. Эти правила помогают решать задачи об относительном движении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система отсчёта — тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы, относительно которых описывают движение. Например, поезд может быть телом отсчёта, а его вагон — местом, от которого отсчитывают положение. Система нужна, чтобы однозначно задавать координаты тела и время наблюдения.
Переход в другую систему отсчёта — замена координат и скорости тела при описании того же события наблюдателем в другой системе. Наблюдатели могут отсчитывать положение от разных начал координат и двигаться относительно друг друга. Переход позволяет перевести известное описание движения в удобное для задачи.
Преобразования Галилея — формулы, связывающие координаты и время одного события в двух системах, движущихся равномерно и прямолинейно. Здесь рассматривается классическая механика, где время для обеих систем одинаково. Формулы нужны, чтобы сравнивать измерения наблюдателей и получать связь между скоростями.
Относительная скорость — скорость одного тела или системы отсчёта относительно другого тела или системы отсчёта. Она показывает, как быстро меняется положение одного объекта, если наблюдать за ним из другого. При её вычислении направление движения учитывают знаками проекций на ось.
Чтобы назвать координату тела, нужно указать начало координат и оси, а для описания изменения положения — ещё и часы. Один и тот же объект может находиться в разных точках относительно разных начал координат. Так, пассажир неподвижен относительно сиденья, но перемещается относительно дороги, потому что автобус движется. Значит, без указания системы отсчёта утверждение о движении или покое неполно.
Пусть система K′ движется вдоль оси x системы K со скоростью v₀, а в начальный момент начала координат совпадают. За время t начало K′ сместится относительно K на v₀t. Поэтому координату тела относительно нового начала получают вычитанием этого смещения: x′ = x − v₀t. Перпендикулярного смещения начал нет, поэтому y′ = y и z′ = z.
В классической механике предполагают, что время течёт одинаково для наблюдателей в рассматриваемых системах. Часы можно считать синхронными, так что событие, произошедшее через время t в K, произошло через то же время в K′: t′ = t. Это допущение лежит в основе преобразований Галилея и применимо в рамках классического описания. При скоростях, близких к скорости света, оно уже не является точным.
Скорость — это изменение координаты за время. Поскольку t′ = t, производная равенства x′ = x − v₀t по времени даёт v′ = v − v₀. Если тело движется в ту же сторону, что и система K′, его скорость относительно неё уменьшается; если в противоположную — проекции имеют разные знаки. Поэтому нельзя складывать модули скоростей, не проверив направления.
При равномерном прямолинейном движении K′ скорость v₀ постоянна. Ещё одно дифференцирование закона для координаты даёт a′ = a, так как производная постоянной скорости системы равна нулю. Значит, ускорение тела одинаково в обеих системах, и законы механики имеют одинаковый вид в инерциальных системах. Это не означает, что формулы без изменений применимы к системе, которая сама движется с ускорением.
| Величина | Система K | Система K′ | Связь между значениями |
|---|---|---|---|
| Координата вдоль направления относительного движения | x | x′ | x′ = x − v₀t |
| Координаты поперёк направления движения | y, z | y′, z′ | y′ = y; z′ = z |
| Время события | t | t′ | t′ = t |
| Скорость вдоль оси x | vₓ | v′ₓ | v′ₓ = vₓ − v₀ |
| Скорость поперёк оси x | vᵧ, v_z | v′ᵧ, v′_z | v′ᵧ = vᵧ; v′_z = v_z |
| Ускорение | a | a′ | a′ = a |
| Состояние покоя или движения | Зависит от наблюдателя | Зависит от наблюдателя | Покой в одной системе не гарантирует покой в другой |
Сначала определите, вдоль какой оси движется K′: только координата и скорость вдоль этой оси получают поправку на движение системы. Поперечные координаты и скорости остаются прежними, а время одинаково. Записывайте направления движения знаками, прежде чем подставлять числа.
Автомобиль движется со скоростью 20 м/с относительно дороги, автобус — 12 м/с в том же направлении. Требуется найти скорость автомобиля в системе автобуса. Выберем направление движения положительным: тогда обе скорости положительны, а скорость автобуса равна скорости системы K′ относительно дороги.
Ответ: автомобиль движется относительно автобуса со скоростью 8 м/с вперёд. Если бы автобус двигался быстрее автомобиля, результат оказался бы отрицательным, то есть автомобиль перемещался бы назад относительно выбранного направления.
При t = 4 с координата тела в системе K равна x = 30 м. Система K′ движется вдоль оси x со скоростью 5 м/с, и в начальный момент начала координат совпадают. Нужно найти координату тела в K′. Поскольку K′ движется в положительном направлении, её начало успевает сместиться вперёд от начала K.
Ответ: координата тела в системе K′ равна 10 м. Проверка смысла результата: начало K′ находится в точке 20 м системы K, а тело — в точке 30 м, то есть оно расположено на 10 м впереди этого начала.
Тело движется в системе K по закону x = 2t² + 3t, система K′ движется вдоль оси x со скоростью 4 м/с. Считаем, что начала систем совпадают при t = 0 и оси направлены одинаково. Требуется записать закон движения и определить скорость и ускорение в K′; время в формулах остаётся тем же.
Ответ: x′ = 2t² − t, v′ = 4t − 1, a′ = 4 м/с². Изменение закона координаты вызвано движением начала системы, а постоянная скорость этого начала не меняет ускорение тела.
Считают координаты одинаковыми. Координата измеряется от начала выбранной системы, поэтому при движении начала K′ положение тела относительно него меняется. Ошибку допускают, когда забывают учесть смещение v₀t. Проверьте себя: если начала совпали при t = 0, то при t > 0 координаты должны различаться на смещение начала K′.
Складывают скорости без учёта направления. Направление задаёт знак проекции, поэтому движение навстречу или в одну сторону приводит к разным результатам. Обычно ошибаются, работая только с положительными модулями скоростей. Перед вычислением нарисуйте ось и запишите каждую скорость со знаком, затем используйте v′ = v − v₀.
Полагают, что время при переходе изменяется. В классических преобразованиях Галилея для одного события t′ = t, потому что время считается общим. Путаница возникает из-за того, что наблюдатели измеряют координаты по-разному. Проверьте запись преобразования: поправка на v₀t относится к координате, а не к времени.
Применяют преобразования Галилея к ускоренной системе. Формула x′ = x − v₀t предполагает постоянную относительную скорость систем, но при ускорении скорость начала координат меняется. Ошибка появляется, когда любую движущуюся систему автоматически считают инерциальной. Проверьте условие задачи: если система ускоряется, нельзя без обоснования заключать, что a′ = a.
Для работы с переходом между системами нужны понятия системы координат, координаты и перемещения: без них нельзя задать положение тела и его изменение. Также понадобятся скорость и ускорение, поскольку их связь выводят из закона преобразования координат. Повторите, как задавать проекции величин и выбирать положительное направление оси.
Преобразования Галилея помогают решать задачи на относительное движение: например, находить скорость пассажира относительно транспорта или лодки относительно берега. Тот же способ применяют к самолётам, движущимся воздушным массам и телам в потоках. В каждом случае сначала выбирают систему, относительно которой известны данные.
Далее переходы между системами отсчёта нужны при изучении законов Ньютона и инерциальных систем. С ними связано понимание того, почему законы механики одинаково записываются в равномерно движущихся системах. При изучении ограничений классической механики станет ясно, в каких условиях преобразования Галилея перестают быть достаточными.
Почему одно и то же тело может покоиться в одной системе отсчёта и двигаться в другой?
Покой и движение определяются относительно выбранного тела отсчёта. Например, пассажир сидит неподвижно относительно автобуса, но перемещается вместе с ним относительно дороги.
Как понять, какую скорость нужно прибавлять или вычитать?
Сначала выберите положительное направление оси и запишите скорости как проекции со знаками. Затем примените формулу v′ = v − v₀: скорость системы K′ вычитают с учётом её направления.
Почему координаты меняются, а время в классической механике остаётся тем же?
Начала координат систем могут смещаться друг относительно друга, поэтому положение тела отсчитывается от разных точек. В классической механике часы считаются синхронными, и для одного события t′ = t.
Всегда ли ускорение одинаково в разных системах отсчёта?
Одинаковое ускорение получается при переходе между системами, которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Если система ускоряется, в общем случае ускорения тела в ней и в исходной системе различаются.
Можно ли применять преобразования Галилея к ускоренно движущейся системе?
Нет, приведённые преобразования Галилея рассчитаны на системы, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью. Для ускоренной системы нужно отдельно учитывать изменение её скорости и возникающие при описании движения дополнительные эффекты.
2. Переход в другую систему отсчёта
