"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Скорость описывает, как быстро и в каком направлении меняется положение тела. Средняя скорость показывает результат движения за выбранный промежуток времени и определяется перемещением, а средняя путевая скорость учитывает весь пройденный путь. Чтобы узнать скорость тела в отдельный момент, используют мгновенную скорость. Её можно понимать как наклон касательной к графику координаты от времени; это связывает описание движения с чтением графиков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела; обозначается Δr. Оно показывает, где тело оказалось относительно старта, и не зависит от того, каким именно маршрутом оно двигалось. Поэтому перемещение нужно, чтобы описывать общий результат движения с учётом направления.
Средняя скорость — векторное отношение перемещения ко времени движения: vср = Δr/Δt. Здесь Δt — промежуток времени, за который произошло перемещение. Эта величина нужна, чтобы оценить изменение положения тела за выбранный интервал, не описывая каждую точку его пути.
Средняя путевая скорость — отношение длины пройденного пути к затраченному времени: vпут = s/Δt. Она является скалярной величиной, то есть имеет значение, но не имеет направления. Её используют, когда нужно узнать, сколько пути тело в среднем проходило за единицу времени.
Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени. Её определяют как предел средней скорости при уменьшении промежутка времени около выбранного момента до сколь угодно малого значения. Это понятие позволяет описать движение не в целом за интервал, а именно в конкретный момент.
Средняя векторная скорость определяется перемещением, а не длиной траектории, потому что она отвечает на вопрос, насколько изменилось положение тела за время. Если человек обошёл квартал и вернулся к месту старта, путь велик, но перемещение равно нулю. Значит, средняя скорость за этот промежуток равна нулю. Её направление совпадает с направлением вектора перемещения: именно туда направлен общий результат движения.
Средняя скорость и средняя путевая скорость описывают разные стороны движения. Первая учитывает только начальное и конечное положения, а вторая — весь маршрут. Если тело движется по прямой и не меняет направления, путь равен модулю перемещения, поэтому совпадают и модули этих скоростей. При развороте тело может пройти большой путь, но приблизиться к старту или вернуться к нему, и тогда средняя путевая скорость окажется больше модуля средней скорости.
Средняя скорость относится к целому промежутку: мы сравниваем перемещение за него с его длительностью. Чтобы узнать скорость в один момент, берут всё меньший интервал времени около него и вычисляют среднюю скорость на этом интервале. Когда промежуток стремится к нулю, значение средней скорости стремится к мгновенной. Такой переход нужен, если скорость меняется и одного среднего значения недостаточно для описания движения.
На графике координаты x от времени t средняя скорость между двумя моментами связана с наклоном секущей — прямой через соответствующие точки кривой. Чем круче секущая, тем больше изменение координаты за единицу времени. Если один из моментов приближать к другому, секущая постепенно становится касательной к графику в выбранной точке. Наклон этой касательной показывает мгновенную скорость в данный момент.
При прямолинейном движении мгновенная скорость показывает, в какую сторону движется тело и насколько быстро меняется его координата. Проекция скорости на ось может быть положительной или отрицательной: знак зависит от того, совпадает ли движение с выбранным положительным направлением оси. Например, если ось направлена на восток, движение на запад даёт отрицательную проекцию. Сам модуль скорости при этом остаётся неотрицательным.
| Величина | Что показывает | Формула | Векторная или скалярная |
|---|---|---|---|
| Средняя скорость | Изменение положения за промежуток времени | vср = Δr/Δt | Векторная |
| Средняя путевая скорость | Путь, пройденный за единицу времени в среднем | vпут = s/Δt | Скалярная |
| Мгновенная скорость | Скорость тела в выбранный момент | Предел Δr/Δt при Δt → 0 | Векторная |
| Связь с графиком координаты от времени | Наклон секущей или касательной к графику | Секущая — средняя; касательная — мгновенная | Зависит от рассматриваемой скорости |
Сначала выберите, что требуется найти: изменение положения или скорость прохождения всего маршрута. Для первого используйте перемещение, для второго — длину пути. Если задача относится к одному моменту, ищите мгновенную скорость по пределу или наклону касательной.
Задача 1. Пешеход прошёл 600 м за 10 мин по прямой в одном направлении. Найдём модуль средней скорости и среднюю путевую скорость. Смена направления не происходила, значит, длина пути равна модулю перемещения. Переведём время в секунды: 10 мин = 600 с.
Ответ: модуль средней скорости равен 1 м/с, средняя путевая скорость — 1 м/с. Они совпали, поскольку движение было прямолинейным и без смены направления.
Задача 2. Тело прошло 300 м на восток, затем 100 м на запад за 200 с. Нужно найти среднюю путевую скорость и проекцию средней скорости на ось, направленную на восток. Для путевой скорости складываем участки пути, а для средней скорости сначала определяем итоговое перемещение: направления участков противоположны.
Ответ: средняя путевая скорость равна 2 м/с, проекция средней скорости на восток — 1 м/с. Различие появилось потому, что после разворота часть пути не увеличила перемещение на восток.
Задача 3. Координата тела меняется по закону x(t) = 2t² − 3t. Найдём среднюю скорость между 1 и 3 с, а также мгновенную скорость при t = 2 с. Сначала сравним координаты в начале и конце интервала, а затем рассмотрим изменение координаты за очень малый промежуток около 2 с.
Ответ: средняя скорость за интервал равна 5 м/с, мгновенная скорость при t = 2 с также равна 5 м/с.
Ошибка — вычислять среднюю скорость через весь пройденный путь, хотя нужна векторная средняя скорость. Так делают, потому что в обычной речи словом «скорость» часто называют быстроту движения. Проверьте формулировку и используйте Δr/Δt для средней скорости, а s/Δt — для средней путевой.
Среднюю путевую скорость иногда считают вектором и пытаются указать её направление. Но она находится по длине пути, которая не имеет направления, поэтому результат — скаляр. Для самопроверки посмотрите на формулу: если в ней стоит путь s, а не вектор перемещения, направление в ответе не требуется.
Мгновенную скорость могут ошибочно находить делением перемещения на всё время движения. Такое отношение даёт среднюю скорость за весь рассматриваемый интервал, а не значение в отдельный момент. Чтобы проверить себя, убедитесь, что интервал становится сколь угодно малым или что по графику рассматривается касательная в нужной точке.
Ещё одна ошибка — считать, что проекция скорости всегда положительна. Её знак зависит от выбора направления оси, поэтому движение против положительного направления даёт отрицательную проекцию. Проверьте, куда направлена ось и куда движется тело; модуль скорости при этом не может быть отрицательным.
Для работы со скоростью нужны координаты, перемещение, путь, время и система отсчёта. Система отсчёта задаёт начало координат и направление оси, поэтому от её выбора зависит знак проекции скорости. Без различения пути и перемещения нельзя правильно определить, какую формулу применять.
Понятие скорости используется при изучении равноускоренного движения: там рассматривают, как скорость меняется со временем. Оно также помогает читать графики координаты и скорости от времени, связывая движение с его наглядным представлением. По графику можно сравнивать изменения величин и находить скорость на заданном интервале.
Связь мгновенной скорости с наклоном касательной подготавливает к использованию производной в физике. Производная координаты по времени математически описывает скорость в данный момент. Поэтому идея предела, уже нужная для определения мгновенной скорости, становится основой дальнейшего изучения движения.
Чем средняя скорость отличается от средней путевой скорости?
Средняя скорость — вектор: её находят делением перемещения на время, поэтому она учитывает направление и начальное с конечным положением. Средняя путевая скорость — скаляр, равный длине пути, делённой на время; направление движения в ней не учитывается.
Почему средняя скорость может быть равна нулю, если тело двигалось?
Если тело вернулось в исходное положение, его перемещение равно нулю. Поэтому средняя скорость за всё время равна нулю, хотя пройденный путь и средняя путевая скорость больше нуля.
Как найти мгновенную скорость по графику координаты от времени?
В нужной точке графика проведите касательную — прямую, которая касается кривой в этой точке и показывает её наклон. Скорость равна отношению изменения координаты к изменению времени для этой прямой, то есть её угловому коэффициенту.
Может ли проекция скорости быть отрицательной?
Да. Проекция отрицательна, если тело движется в сторону, противоположную положительному направлению выбранной оси. Это не означает, что тело движется «с отрицательной быстротой»: модуль скорости неотрицателен.
В каких единицах измеряют скорость?
В Международной системе единиц скорость измеряют в метрах в секунду (м/с). В повседневной жизни также используют километры в час (км/ч); 1 м/с = 3,6 км/ч.
§ 4. Мгновенная и средняя скорость
