1. Мгновенная скорость

Определения и обозначения

Средняя скорость — отношение перемещения тела за промежуток времени к длительности этого промежутка: vср = Δr/Δt. Это векторная величина: Δr — вектор перемещения, поэтому средняя скорость указывает не только быстроту, но и направление перемещения. Она нужна, чтобы описать движение в целом за выбранное время.

Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени, обычно обозначаемая v. Она характеризует движение около выбранного момента, а не весь путь: пока тело двигалось, его скорость могла изменяться. Это позволяет описывать неравномерное движение подробнее, чем одной средней скоростью.

Вектор скорости — вектор, направленный по касательной к траектории в данной точке и показывающий направление движения тела. Его модуль характеризует быстроту движения, а направление показывает, куда тело движется именно в этот момент. Такое представление подходит и для движения по кривой траектории.

Касательная к графику координаты от времени — прямая, которая касается графика x(t) в выбранной точке и имеет там тот же наклон. Наклон касательной связан с мгновенной скоростью тела в соответствующий момент. Поэтому по нему можно судить, как быстро и в какую сторону меняется координата.

Как это устроено

Средняя скорость отвечает на вопрос о перемещении за некоторый отрезок времени, но не показывает, как именно тело двигалось внутри этого отрезка. Например, за десять секунд автомобиль мог сначала разгоняться, затем ехать быстрее, а потом тормозить. Одно среднее значение не выделяет ни один из этих моментов, потому что учитывает только суммарное перемещение и всё время целиком.

Чтобы получить скорость для конкретного момента, выбирают промежуток времени вокруг него и вычисляют среднюю скорость. Затем этот промежуток уменьшают: чем он короче, тем точнее значение описывает движение около выбранного момента. Мгновенную скорость понимают как предел средней скорости, когда длительность промежутка стремится к нулю; в записи это соответствует переходу Δt → 0.

На графике x(t) наклон прямой, соединяющей две точки графика, показывает среднюю скорость между соответствующими моментами: это отношение изменения координаты к изменению времени. Если сближать точки, такая прямая становится всё больше похожа на касательную к графику в выбранный момент. В пределе её наклон и даёт мгновенную скорость, поэтому касательная позволяет определить её по графику.

Если график x(t) поднимается вправо, координата с течением времени растёт и скорость положительна; если опускается — координата уменьшается и скорость отрицательна. Чем круче график, тем больше изменение координаты за одинаковый промежуток времени, а значит, тем больше модуль скорости. На горизонтальном участке наклон равен нулю: координата не меняется, и тело покоится вдоль выбранной оси.

Вектор скорости объединяет два сведения: его направление показывает направление движения, а модуль — быстроту. При движении по кривой траектории направление вектора меняется вместе с касательной, даже если модуль скорости остаётся прежним. Для движения вдоль оси знак скорости указывает направление относительно выбранной оси, а её абсолютное значение соответствует модулю скорости.

Средняя и мгновенная скорость

Пользуйся таблицей, сначала уточнив, о каком промежутке времени спрашивают: о конечном или об отдельном моменте. Для движения вдоль оси сравнивай наклоны графика, учитывая не только их величину, но и знак. Векторную среднюю скорость связывай с перемещением, а не с длиной пройденного пути.

Разбор задач

Средняя скорость автомобиля

Автомобиль переместился на 120 м за 10 с. Найдём его среднюю скорость. Поскольку направление перемещения не задано, можно определить значение скорости, а направление указать только при наличии сведений о направлении перемещения.

1. Запишем данные: модуль перемещения Δr = 120 м, время Δt = 10 с.
2. По определению средняя скорость равна перемещению, делённому на время: vср = Δr/Δt.
3. Подставим значения: vср = 120 м / 10 с = 12 м/с. Если перемещение направлено вдоль выбранной оси, вектор средней скорости направлен так же.

Ответ: модуль средней скорости равен 12 м/с; направление совпадает с направлением перемещения автомобиля.

Скорость по закону движения

Координата тела меняется по закону x(t) = 3t². Найдём мгновенную скорость при t = 2 с. Закон задаёт график координаты, поэтому скорость в этот момент соответствует наклону касательной к графику.

1. Возьмём близкий к t = 2 с момент t = 2 с + Δt и вычислим изменение координаты.
2. Получим Δx = 3(2 + Δt)² − 3·2² = 12Δt + 3(Δt)². Средняя скорость на таком малом промежутке: Δx/Δt = 12 + 3Δt.
3. При уменьшении промежутка до нуля добавка 3Δt стремится к нулю, поэтому наклон касательной и мгновенная скорость равны 12 м/с.

Ответ: v(2 с) = 12 м/с. Такой расчёт показывает, как наклон графика x(t) в выбранной точке связывается со скоростью.

Скорость по наклону касательной

При t = 4 с касательная к графику координаты проходит через точки (2 с; 3 м) и (6 с; 15 м). Найдём её наклон: именно он соответствует мгновенной скорости в указанной точке графика. Обе точки лежат на касательной, поэтому ими удобно воспользоваться, даже если они не соответствуют моменту t = 4 с.

1. Вычислим изменение координаты между точками: Δx = 15 м − 3 м = 12 м.
2. Найдём промежуток времени между ними: Δt = 6 с − 2 с = 4 с.
3. Разделим изменение координаты на время: v = Δx/Δt = 12 м / 4 с = 3 м/с. Наклон положительный, значит, координата растёт.

Ответ: мгновенная скорость при t = 4 с равна 3 м/с и направлена в сторону возрастания координаты.

Типичные ошибки

Подмена мгновенной скорости средней. Ученик может принять среднюю скорость за скорость в любой точке большого промежутка, потому что оба значения измеряются в м/с. Но при изменении движения среднее не описывает отдельный момент. Проверь себя: если скорость менялась, найди значение для нужного момента отдельно.

Вместо перемещения берут путь. Это часто происходит потому, что путь и перемещение оба измеряются в метрах. Однако средняя векторная скорость определяется изменением положения тела; при движении туда и обратно путь может быть ненулевым, а перемещение — нулевым. Проверь, требуется ли именно векторная скорость, и сравни начальную и конечную координаты.

Значение координаты принимают за скорость. На графике легко прочитать высоту точки и ошибочно назвать её скоростью. Но координата показывает положение, а скорость задаёт наклон графика. Проверь единицы: координата измеряется в метрах, скорость — в метрах в секунду; для скорости нужно разделить изменение координаты на изменение времени.

Не учитывают направление и знак. Отрицательную скорость иногда считают невозможной или ошибочно заменяют положительной. Знак показывает движение относительно выбранного направления оси, тогда как модуль скорости неотрицателен. Проверь, возрастает или убывает координата со временем, и укажи знак согласно этому изменению.

Связь с другими темами

Для работы со скоростью нужны понятия перемещения, координаты и промежутка времени, а также умение читать график зависимости одной величины от другой. Мгновенная скорость станет основой при изучении ускорения и подробном описании неравномерного движения. Рассуждение о приближении средней скорости к мгновенной подготавливает к производной: она определяется как предел отношения приращений величин.

Что запомнить

• Мгновенная скорость характеризует движение тела в данный момент.
• Её можно понимать как предел средней скорости при уменьшении промежутка времени.
• На графике координаты от времени мгновенная скорость равна наклону касательной.
• Чем больше наклон графика по модулю, тем больше модуль скорости.
• Знак скорости указывает направление движения относительно выбранной оси.
• Вектор скорости направлен по касательной к траектории.