§ 9. Мгновенная скорость

Определения и обозначения

Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени. Она отличается от средней скорости за промежуток: средняя описывает всё движение между началом и концом этого промежутка, а мгновенная относится к выбранному моменту. Поэтому среднее значение за поездку не всегда показывает, с какой скоростью тело двигалось в отдельную секунду. Мгновенную скорость обозначают вектором v.

Перемещение за промежуток времени — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела. Его обозначают Δr, где символ Δ указывает на изменение величины. Перемещение нужно, чтобы учесть не только расстояние между положениями, но и направление этого изменения. Оно может отличаться от длины пути, пройденного телом.

Предел отношения перемещения к промежутку времени — способ определить мгновенную скорость, уменьшив промежуток до нуля. Отношение Δr/Δt показывает среднюю векторную скорость за выбранный интервал. Переход к пределу позволяет описать движение в один момент, а не усреднять его за конечное время. Этот способ особенно полезен, если скорость тела меняется.

Вектор мгновенной скорости v направлен по касательной к траектории в рассматриваемой точке. Касательная — прямая, которая касается кривой в одной точке и показывает её направление рядом с этой точкой. Такое направление соответствует тому, куда движется тело именно сейчас. Поэтому при движении по кривой скорость не направлена к центру или вдоль радиуса.

Как это устроено

Средняя скорость описывает движение за конечный промежуток времени. За это время тело может пройти участки пути с разной скоростью и изменить направление, поэтому одно среднее значение сглаживает подробности движения. Например, средняя скорость за поездку не показывает, как быстро автомобиль двигался в конкретную секунду. Чтобы охарактеризовать отдельный момент, требуется другой способ определения.

Для этого выбирают промежуток времени, содержащий интересующий момент, и находят перемещение тела за этот интервал. Затем интервал уменьшают, снова сравнивая изменение положения со временем. Чем короче промежуток, тем меньше движение успевает измениться внутри него. Так оценка всё точнее отражает состояние движения около выбранного момента.

Отношение перемещения к промежутку времени задаёт среднюю векторную скорость за этот интервал. Направление отношения совпадает с направлением перемещения — вектора от начального положения к конечному. Но при конечном интервале начальная и конечная точки обычно различны, поэтому направление перемещения ещё не обязано совпадать с направлением движения в выбранный момент. Уменьшение интервала помогает устранить это расхождение.

Мгновенную скорость определяют как предел отношения перемещения к промежутку времени при стремлении промежутка к нулю: v = lim(Δt→0) Δr/Δt. Это не означает, что тело перемещается за нулевое время; рассматривается последовательность всё более коротких интервалов. Если отношение приближается к определённому значению, этот предел и задаёт мгновенную скорость. Для прямолинейного движения по координате аналогично используют предел отношения изменения координаты ко времени.

На криволинейной траектории перемещение за конечное время направлено по хорде — отрезку между двумя положениями тела. Когда эти положения сближаются, хорда всё точнее соответствует направлению траектории в выбранной точке. В пределе направление становится касательным, поэтому туда же направлен вектор мгновенной скорости. Скорость показывает направление движения, а не направление, в котором траектория изгибается.

Средняя и мгновенная скорость

Сравнивайте эти величины по интервалу, способу нахождения и направлению: так легче не принять среднее значение за мгновенное. Обозначение и единицы измерения у них могут совпадать, поэтому при записи полезно явно указывать, о какой скорости идёт речь.

Разбор задач

Тело переместилось на 12 м за 3 с. Требуется найти среднюю скорость. Дано перемещение и конечный промежуток времени, поэтому используем отношение перемещения ко времени, а не определение мгновенной скорости.

1. Записываем формулу средней скорости: vср = Δr/Δt.
2. Подставляем значения: vср = 12 м/3 с.
3. Выполняем деление и указываем единицы: vср = 4 м/с.

Ответ: средняя скорость равна 4 м/с. Это значение характеризует весь указанный промежуток времени. По нему нельзя заключить, что тело двигалось с такой скоростью в каждый момент.

Тело движется по прямой по закону x(t) = 2t². Найдём скорость при t = 3 с, сравнив координаты в моменты 3 с и 3 с + Δt. Закон движения связывает координату со временем, поэтому сначала вычислим её изменение за малый интервал, а затем перейдём к пределу.

1. Координата в момент 3 с: x(3) = 2 · 3² = 18 м.
2. Координата в момент 3 с + Δt: x(3 + Δt) = 2(3 + Δt)² = 18 + 12Δt + 2(Δt)².
3. Изменение координаты равно Δx = x(3 + Δt) − x(3) = 12Δt + 2(Δt)². Делим его на Δt: Δx/Δt = 12 + 2Δt.
4. Переходим к пределу при Δt → 0: v = lim(12 + 2Δt) = 12 м/с.

Ответ: в момент t = 3 с скорость равна 12 м/с. Слагаемое 2Δt исчезает в пределе, потому что промежуток времени стремится к нулю. При конечном Δt отношение было бы средней скоростью за этот небольшой интервал.

Тело движется по окружности радиуса 5 м и находится в точке, соответствующей углу 90°. Требуется указать направление его мгновенной скорости. Для ответа не нужно знать радиус или вычислять модуль скорости: достаточно свойства вектора скорости на криволинейной траектории.

1. Находим касательную к окружности в рассматриваемой точке. Она перпендикулярна радиусу, проведённому к этой точке.
2. Направляем вектор мгновенной скорости вдоль касательной, в сторону движения тела по окружности.
3. Не направляем скорость к центру: радиус указывает на центр окружности, а не вдоль траектории в точке.

Ответ: скорость направлена по касательной к окружности в точке с углом 90°, в сторону движения. К центру направлено не движение, а радиус; направление скорости задаёт касательная. Если указать, движется тело по часовой стрелке или против неё, можно выбрать конкретную сторону касательной.

Типичные ошибки

Считать среднюю скорость за весь путь мгновенной — значит смешивать характеристику конечного промежутка с характеристикой момента. Так делают, потому что в обоих случаях говорят о скорости и используют отношение изменения положения ко времени. Проверьте себя: указаны ли конкретный момент и переход к пределу? Если дан только весь путь или интервал, найдено среднее значение.

Подставлять конечное Δt в определение и называть результат точной мгновенной скоростью — ошибка. При ненулевом интервале отношение перемещения ко времени даёт среднюю скорость, пусть промежуток и очень мал. Чтобы проверить ответ, посмотрите, выполнен ли переход Δt → 0. Если Δt оставлено конечным, результат является приближением или средней скоростью за интервал.

Направлять вектор скорости по хорде между двумя положениями тела неверно для точного описания движения в момент. Хорду используют для направления перемещения за конечное время, поэтому её выбирают по двум положениям. При уменьшении промежутка времени направления хорд приближаются к касательной. Проверьте себя: относится ли вектор к конечному интервалу или к отдельной точке траектории?

Путать направление скорости с направлением ускорения нельзя: скорость показывает, куда движется тело в данный момент, а ускорение характеризует изменение скорости. Ошибка возникает, когда обе величины связывают с изменением движения и считают их направления одинаковыми. Проверка проста: скорость направьте по касательной к траектории, а для определения ускорения отдельно выясните, как меняется вектор скорости. Их направления не обязаны совпадать.

Связь с другими темами

Для изучения мгновенной скорости нужно знать, что такое перемещение, траектория, промежуток времени и средняя скорость. Перемещение задаёт изменение положения, а траектория показывает линию движения; без этих понятий нельзя описать направление вектора. Средняя скорость служит основой для перехода к мгновенной: её вычисляют на всё меньших интервалах. Так уже знакомые величины помогают понять новое определение.

Мгновенная скорость пригодится при изучении ускорения, графиков движения и законов движения тел. Ускорение описывает, как изменяется скорость, а графики позволяют проследить изменения координаты и скорости со временем. Законы движения связывают положение тела с временем и позволяют находить его скорость в заданный момент. Поэтому умение различать среднюю и мгновенную скорость нужно для дальнейших тем механики.

Что запомнить

• Мгновенная скорость характеризует движение в конкретный момент времени.
• Её определяют как предел отношения перемещения к промежутку времени при Δt → 0.
• Для прямолинейного движения направление скорости совпадает с направлением движения.
• При криволинейном движении вектор скорости направлен по касательной к траектории.
• В СИ скорость измеряется в метрах в секунду.
• Средняя скорость и мгновенная скорость — разные характеристики движения.