§ 8. Уравнение равномерного прямолинейного движения

Определения и обозначения

Равномерное прямолинейное движение — движение по прямой, при котором за равные промежутки времени тело проходит равные пути. Проекция скорости при этом постоянна. Это позволяет описывать движение одной формулой без поиска скорости для каждого момента.

Уравнение движения — зависимость координаты тела от времени. Оно позволяет определить, где находится тело в любой выбранный момент. Для равномерного движения эта зависимость имеет вид x = x₀ + vₓt.

Начальная координата — координата тела в момент, принятый за начало отсчёта времени; обозначается x₀. Она показывает, откуда тело начинает движение относительно выбранного начала координат. Начальная координата не обязана быть равной нулю.

Проекция скорости — величина vₓ, показывающая, как изменяется координата за единицу времени. Её знак задаёт направление движения относительно оси: положительный знак означает движение по положительному направлению, отрицательный — в обратную сторону. Поэтому в уравнении используют именно vₓ, а не только модуль скорости.

Как это устроено

При равномерном движении скорость не меняется, поэтому за время t тело получает одинаковое приращение координаты в каждую единицу времени. За всё время это приращение складывается t раз, и проекция перемещения становится равной vₓt. Именно поэтому постоянная скорость приводит к простому линейному закону движения.

Проекция перемещения между начальным и конечным положениями равна разности координат: x − x₀. Приравнивая её к vₓt, получаем x − x₀ = vₓt, а после переноса x₀ в правую часть — уравнение x = x₀ + vₓt. Формула показывает, что конечная координата складывается из начального положения и его изменения за время движения.

До записи уравнения выбирают начало координат, положительное направление оси и момент t = 0. После этого положение тела задаётся числом x₀, а направление движения отражается знаком vₓ. Если поменять направление оси на противоположное, знаки проекций изменятся, хотя само движение останется тем же.

Знак скорости сразу позволяет предсказать поведение координаты. При vₓ > 0 величина vₓt положительна и координата растёт, при vₓ < 0 она уменьшается, а при vₓ = 0 координата остаётся равной x₀. Так по формуле можно отличить движение в выбранную сторону от покоя.

Уравнение позволяет не только найти координату в заданный момент, но и определить время достижения нужной точки: достаточно решить его относительно t. График x(t) является прямой, потому что координата изменяется пропорционально времени. Чем больше по модулю наклон прямой, тем больше модуль проекции скорости; знак наклона показывает направление движения.

Величины в уравнении равномерного прямолинейного движения

Сначала определите, какую величину требуется найти, затем подберите соответствующую строку и проверьте единицы. Для расчётов используйте согласованные единицы СИ: координаты — в метрах, время — в секундах, скорость — в метрах в секунду.

Знак у x₀ или vₓ нельзя игнорировать: он содержит информацию о положении и направлении. Подставляя данные в формулу x = x₀ + vₓt, сохраняйте эти знаки.

Разбор задач

Задача 1

Тело движется по прямой: при t = 0 его координата равна 4 м, а проекция скорости — 3 м/с. Требуется найти координату через 5 с. Все данные уже выражены в единицах СИ.

1. Записываем уравнение движения: x = x₀ + vₓt.
2. Подставляем данные: x = 4 м + 3 м/с · 5 с = 19 м.
3. Единицы времени сокращаются, поэтому результат получаем в метрах.

Ответ: x = 19 м.

Задача 2

Тело находится в точке с координатой 12 м и движется с проекцией скорости −2 м/с. Нужно записать уравнение и определить координату через 4 с. Отрицательный знак скорости оставляем, поскольку он показывает движение против положительного направления оси.

1. Принимаем начальную координату x₀ = 12 м и записываем: x = 12 − 2t.
2. Подставляем t = 4 с: x = 12 м − 2 м/с · 4 с = 4 м.
3. Полученная координата меньше начальной, что подтверждает движение в отрицательную сторону.

Ответ: x = 12 − 2t; через 4 с координата равна 4 м.

Задача 3

Даны уравнения двух тел: x₁ = 2 + 3t и x₂ = 20 − 2t, где координаты измеряются в метрах, а время — в секундах. Встреча произойдёт тогда, когда тела будут иметь одну координату. Поэтому приравниваем правые части уравнений.

1. 2 + 3t = 20 − 2t.
2. Переносим слагаемые с t в левую часть: 5t = 18, откуда t = 3,6 с.
3. Подставляем время в первое уравнение: x = 2 + 3 · 3,6 = 12,8 м.

Ответ: тела встретятся через 3,6 с в точке с координатой 12,8 м.

Типичные ошибки

Подстановка модуля скорости вместо проекции стирает информацию о направлении движения. Так часто делают, потому что скорость в быту воспринимают только как положительное число. Проверьте себя: если тело движется против оси, в формуле должен стоять отрицательный знак.

Нельзя считать начальную координату обязательно равной нулю. Её иногда принимают за ноль для удобства, но она зависит от выбранного начала координат. Сверьте условие: при t = 0 координата может быть любой, в том числе отрицательной.

Ошибка возникает, когда формулу записывают без согласования оси и знака скорости. Направление оси выбирают заранее, а знак vₓ определяют сравнением движения с этой осью. Для проверки представьте, растёт или уменьшается координата при движении тела.

Нельзя смешивать единицы, например использовать скорость в км/ч вместе со временем в секундах. Из-за этого численный результат получится неверным, даже если формула выбрана правильно. Перед вычислением переведите скорость в м/с или время в часы и проверьте единицы результата.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны координатный метод описания движения, понятия перемещения и скорости, а также умение находить проекции векторов. Без выбора оси и начала отсчёта нельзя правильно определить знаки x₀ и vₓ. Эти знания превращают описание движения в расчётную модель.

Уравнение движения используется в задачах на встречу и догоняние: координаты тел приравнивают и находят время. Оно также связывает физический смысл движения с графиком зависимости координаты от времени и помогает изучать относительность механического движения.

Что запомнить

• Уравнение равномерного прямолинейного движения: x = x₀ + vₓt.
• Проекция скорости vₓ постоянна.
• x₀ — координата тела при t = 0.
• Знак vₓ задаётся направлением оси и направлением движения.
• При vₓ > 0 координата растёт, при vₓ < 0 — убывает.
• Для нахождения встречи двух тел приравнивают их координаты.