§ 7. Скорость равномерного прямолинейного движения

Определения и обозначения

Равномерное прямолинейное движение — движение тела по прямой, при котором за любые равные промежутки времени оно совершает одинаковые перемещения. Перемещение — направленный отрезок от начального положения тела к конечному. Такое определение помогает отличить равномерное движение от случая, когда тело за одинаковое время проходит разные расстояния.

Скорость равномерного прямолинейного движения характеризует быстроту и направление движения и равна отношению перемещения ко времени, за которое оно произошло. Скорость обозначают v, перемещение — Δr, промежуток времени — Δt. Эта величина позволяет описать движение тела и определить, где оно окажется спустя заданное время.

Вектор скорости направлен вдоль траектории в сторону движения, а при движении по прямой его направление не меняется. Вектор — это величина, для которой важны и численное значение, и направление. Такое описание необходимо, чтобы различать движение в противоположные стороны даже при одинаковой быстроте.

Модуль скорости |v| — численное значение скорости без указания направления; он показывает, какое расстояние тело проходит за единицу времени. Например, модуль 3 м/с означает, что за секунду тело проходит 3 м, если движется равномерно. Модуль не бывает отрицательным, тогда как проекция скорости на ось может иметь знак.

Как это устроено

Возьмём два одинаковых промежутка времени. При равномерном прямолинейном движении перемещения за них равны, поэтому отношения перемещения ко времени тоже равны. Направление каждого перемещения одно и то же, так как тело движется по прямой и не разворачивается. Значит, не меняются ни модуль, ни направление скорости: вектор скорости постоянен.

Чтобы получить формулу скорости, сравним перемещение с временем, за которое оно произошло: v = Δr/Δt. Здесь v — вектор скорости, Δr — вектор перемещения, а Δt — прошедшее время; Δ означает изменение величины. Деление на время показывает, какое перемещение приходится на единицу времени. В СИ перемещение выражают в метрах, время — в секундах, поэтому единица скорости — м/с.

Скорость является вектором, потому что перемещение направлено, а не просто имеет длину. При прямолинейном движении удобно выбрать ось: если тело движется вдоль её положительного направления, проекция скорости положительна, а при движении обратно — отрицательна. Сам модуль скорости в обоих случаях остаётся положительным. Знак сообщает направление относительно оси, а не то, что тело движется «быстрее» или «медленнее».

Если тело движется по прямой в одном направлении, длина пройденного пути растёт так же, как модуль перемещения. Поэтому путь можно найти по формуле s = |v|t, где t — время движения. При смене направления путь складывается из длин всех участков, а перемещение зависит только от начального и конечного положения. В таком случае путь может быть больше модуля перемещения.

На графике координаты x от времени t равномерное прямолинейное движение изображается прямой, потому что за равные промежутки времени координата меняется на равные величины. Наклон прямой равен отношению изменения координаты к изменению времени: v = Δx/Δt. Чем круче наклон, тем больше модуль скорости; наклон вверх или вниз показывает её знак. Точка пересечения графика с осью координат времени t = 0 задаёт начальную координату x₀.

Величины и соотношения при равномерном прямолинейном движении

Сначала определите, что требуется найти: путь, перемещение, скорость или координату. Затем выберите подходящую строку и проверьте, согласованы ли единицы измерения. Если направление важно, используйте проекцию скорости и учитывайте её знак.

Разбор задач

Задача 1. Тело за 4 с переместилось на 12 м вдоль прямой. Найдём модуль его скорости. Поскольку направление за это время не менялось, модуль перемещения равен 12 м. Для решения достаточно разделить его на время движения.

1. Используем формулу |v| = |Δr|/Δt.
2. Подставляем значения: |v| = 12 м/4 с = 3 м/с.
3. Проверяем единицы: метры, делённые на секунды, дают м/с.

Ответ: модуль скорости равен 3 м/с. Это означает, что за каждую секунду тело совершает перемещение длиной 3 м.

Задача 2. Автомобиль движется равномерно со скоростью 15 м/с в течение 8 с. Найдём перемещение и положение относительно начальной точки. Примем направление движения за положительное, а начальную точку — за начало отсчёта. Тогда проекция скорости равна +15 м/с, а начальная координата x₀ = 0.

1. Для равномерного движения используем Δx = vt.
2. Подставляем: Δx = 15 м/с · 8 с = 120 м.
3. Координата после движения x = x₀ + Δx = 0 + 120 м = 120 м.

Ответ: перемещение равно +120 м, автомобиль окажется в 120 м от начальной точки в положительном направлении. Если ось выбрать в обратную сторону, проекции перемещения и скорости будут отрицательными, но физическое положение автомобиля не изменится.

Задача 3. График координаты проходит через точки (0 с; 2 м) и (5 с; 17 м). Требуется определить скорость и записать закон движения. Скорость задаёт наклон прямой, поэтому нужно сравнить не сами координаты, а их изменения. Координата при t = 0 сразу даёт начальное положение x₀.

1. Находим изменения: Δx = 17 м − 2 м = 15 м, Δt = 5 с − 0 с = 5 с.
2. Вычисляем наклон графика: v = Δx/Δt = 15 м/5 с = 3 м/с.
3. Подставляем x₀ = 2 м и v = 3 м/с в формулу x = x₀ + vt.

Ответ: скорость равна 3 м/с, закон движения — x = 2 + 3t, если x выражена в метрах, а t — в секундах. Проверка: при t = 5 с получаем x = 17 м, как указано в условии.

Типичные ошибки

Скорость иногда считают скалярной величиной и забывают о направлении. Так происходит, когда в задаче используют только число, не задавая ось; в результате можно перепутать движение вперёд и назад. Проверьте, требуется ли в ответе вектор или его проекция, и укажите знак относительно выбранного направления.

В формулу скорости могут подставить путь, не проверив, меняло ли тело направление. Путь учитывает всю траекторию, а перемещение связывает только начальное и конечное положения, поэтому при развороте их значения различаются. Нарисуйте направление движения или сравните длину траектории с расстоянием между начальной и конечной точками.

Путь и скорость путают, потому что обе величины связаны с движением. Но у них разные единицы: путь измеряется в метрах, скорость — в метрах в секунду. Проверьте размерность результата: если в задаче требуется скорость, деление длины на время должно оставить единицу м/с.

При чтении графика иногда за скорость принимают значение координаты. Координата показывает положение относительно начала отсчёта, а скорость — насколько быстро и в какую сторону она меняется. Чтобы проверить себя, выберите две точки графика и вычислите Δx/Δt, а не делите координату одной точки на время.

Связь с другими темами

Для изучения скорости нужны понятия механического движения, траектории, координаты, перемещения и промежутка времени: они задают, что именно меняется и как это измерить. Затем формулы и графики движения используются при разборе относительности движения, встреч и догонок. При движении по окружности модуль скорости может оставаться постоянным, но направление вектора меняется, поэтому такое движение уже не является равномерным прямолинейным.

Что запомнить

• При равномерном прямолинейном движении вектор скорости постоянен.
• Скорость равна отношению перемещения ко времени: v = Δr/Δt.
• Вектор скорости направлен вдоль прямой движения.
• Модуль скорости показывает путь, проходимый за единицу времени.
• В СИ скорость измеряется в метрах в секунду.
• На графике координаты от времени скорость равна наклону прямой.