§ 6. Перемещение

Определения и обозначения

Перемещение — вектор, соединяющий начальное положение тела с конечным. Его направление показывает, куда изменилось положение тела, а длина не описывает весь маршрут. Поэтому перемещение помогает сравнить две точки движения, даже если тело двигалось по сложной траектории.

Радиус-вектор — вектор, проведённый из начала координат к точке, где находится тело. Его обозначают, например, буквой r; конец вектора указывает положение тела в выбранной системе координат. Радиус-вектор нужен, чтобы задавать положение тела и вычислять, как оно изменилось.

Модуль перемещения — длина вектора перемещения, обычно обозначаемая |Δr|. Это неотрицательная величина: она может быть нулём, но не может быть меньше нуля. Модуль измеряется в единицах длины, например в метрах.

Перемещение за промежуток времени — разность конечного и начального радиус-векторов: Δr = r₂ − r₁. Здесь r₁ относится к началу движения, r₂ — к его концу, а Δr обозначает изменение радиус-вектора. Такое вычитание показывает, насколько и в каком направлении изменилось положение тела.

Как это устроено

Чтобы описывать движение, сначала выбирают тело отсчёта и систему координат: без них нельзя однозначно указать положение тела. В каждый момент его положение можно задать координатами или радиус-вектором. Когда тело перемещается, вектор проводят от начальной точки к конечной, потому что именно эти положения определяют изменение. Направление стрелки всегда идёт от начала движения к его концу.

Перемещение не зависит от формы траектории, поскольку оно определяется только начальной и конечной точками. Например, два тела могут попасть из одной точки в другую по прямым или извилистым маршрутам, но вектор между этими точками будет одинаковым. Изменится длина пройденного пути, а перемещение останется прежним. Поэтому для описания маршрута одного перемещения недостаточно.

Если известны радиус-векторы начального и конечного положения, чтобы найти перемещение, из конечного вектора вычитают начальный: Δr = r₂ − r₁. Это правило следует из того, что оба радиус-вектора начинаются в начале координат, а их разность связывает начальную и конечную точки. Если конечное положение совпадает с начальным, радиус-векторы равны и их разность равна нулю. Такой расчёт позволяет работать с движением в любой системе координат.

В координатах вычитание векторов сводится к вычитанию соответствующих координат: Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁. Именно конечное значение ставят первым, поэтому знак проекции показывает направление относительно выбранной оси. Например, отрицательная Δx означает, что перемещение направлено против положительного направления оси x. Если известны две перпендикулярные компоненты, модуль находят по теореме Пифагора: |Δr| = √(Δx² + Δy²).

При движении по замкнутой траектории тело возвращается туда, откуда отправилось. Начальная и конечная точки тогда совпадают, поэтому перемещение равно нулю независимо от того, как долго и по какому маршруту двигалось тело. Путь при этом складывается из длин всех пройденных участков и обычно больше нуля. Это наглядно показывает, почему перемещение нельзя заменять путём.

Чем перемещение отличается от пути

Сначала определите, что требуется найти: изменение положения или длину всего маршрута. Если спрашивают перемещение, отметьте начальную и конечную точки и проведите вектор между ними. Если требуется путь, сложите длины всех пройденных участков.

Разбор задач

Задача 1. Тело переместилось из точки A в точку B. Изобразите его перемещение и укажите направление. Здесь не требуется знать форму пути: перемещение задаётся только начальным и конечным положениями. Поэтому важно не нарисовать вместо вектора весь маршрут движения.

1. Определяем начало движения: это точка A.
2. Определяем конец движения: это точка B.
3. Проводим стрелку от A к B. Направление перемещения — от A к B.

Ответ: вектор перемещения направлен из A в B. Если тело двигалось по кривой, её изображение не заменяет этот вектор. Его длина равна расстоянию между A и B, а не обязательно длине траектории.

Задача 2. Начальная координата тела равна −2 м, конечная — 5 м. Найдите проекцию перемещения на ось. Проекция показывает, как изменилась координата вдоль выбранной оси. Поэтому нужно учитывать знак координат и вычитать начальное значение из конечного.

1. Записываем правило: Δx = x₂ − x₁.
2. Подставляем значения: Δx = 5 м − (−2 м) = 7 м.
3. Положительный знак означает, что проекция направлена в сторону положительного направления оси.

Ответ: проекция перемещения равна 7 м. Проверка: координата выросла от −2 м до 5 м, то есть тело сместилось на семь метров в положительном направлении. Если бы поменять порядок вычитания, получился бы неправильный знак.

Задача 3. Тело прошло по прямоугольной траектории со сторонами 3 м и 4 м, а затем вернулось в исходную точку. Найдите путь и модуль перемещения. Для пути нужно знать длину каждого пройденного участка, а для перемещения — сравнить начало и конец движения. Фраза «вернулось в исходную точку» сразу говорит, что эти положения совпадают.

1. За один обход прямоугольника пройдено 2 · (3 м + 4 м) = 14 м.
2. После возвращения тело повторно проходит такой же маршрут, поэтому общий путь равен 14 м + 14 м = 28 м.
3. Начальная и конечная точки совпали, значит вектор перемещения нулевой и его модуль равен 0 м.

Ответ: путь равен 28 м, модуль перемещения — 0 м. Путь оказался ненулевым, поскольку тело двигалось по сторонам прямоугольника. Нулевой модуль перемещения объясняется возвращением в исходное положение, а не отсутствием движения.

Типичные ошибки

Первая ошибка — называть перемещением длину траектории. Её допускают, потому что оба понятия связаны с движением и измеряются в единицах длины. Проверьте себя: если в ответе не указано направление и не учтены начальная с конечной точки, вероятно, найден путь, а не перемещение.

Вторая ошибка — менять порядок вычитания координат. Проекция перемещения считается как конечная координата минус начальная, и обратный порядок меняет знак. Ошибка возникает, когда воспринимают координаты как просто два числа для вычитания. Для проверки спросите себя, в какую сторону изменилось положение относительно оси: знак ответа должен совпадать с этим направлением.

Третья ошибка — считать, что модуль перемещения всегда равен пути. Это верно только при движении по прямой без изменения направления, потому что тогда весь маршрут совпадает с отрезком между началом и концом. Часто величины путают, так как обе измеряются в метрах. Проверьте маршрут: повороты и развороты обычно делают путь больше модуля перемещения.

Четвёртая ошибка — думать, что при любом движении перемещение обязательно ненулевое. Если тело возвращается к месту старта, его конечное положение совпадает с начальным, поэтому вектор перемещения равен нулю. Путаница возникает, когда движение принимают за обязательное изменение конечного положения. Сравните начальную и конечную точки: совпали — перемещение нулевое, хотя путь мог быть значительным.

Связь с другими темами

Для описания перемещения нужно уметь задавать положение тела в системе координат и изображать векторы. Выбор начала координат и направления осей позволяет записать положение числами, а вычитание координат — определить проекции перемещения. Поэтому знание системы отсчёта помогает перейти от рисунка к расчёту. При смене осей меняются координаты и проекции, но само физическое изменение положения остаётся тем же.

Перемещение понадобится при изучении скорости и ускорения. Скорость связывает изменение положения с промежутком времени, а ускорение характеризует изменение скорости. Эти величины помогают описывать не только то, где оказалось тело, но и как меняется его движение. Поэтому умение находить перемещение становится основой для дальнейших задач по кинематике.

Что запомнить

• Перемещение — вектор от начального положения к конечному.
• Перемещение не задаёт форму траектории.
• Вектор перемещения равен разности конечного и начального радиус-векторов.
• Проекция перемещения на ось равна конечной координате минус начальная.
• Модуль перемещения не превышает длину пути.
• При возвращении в исходную точку перемещение равно нулю.